「どんな閉曲線にも正方形は隠れている？」――内接正方形問題（Toeplitz予想）C⁰版プレプリント公開

平面に、自己交差しない「閉じた曲線」（ぐるっと一周して戻ってくる輪っか）を一本描きます。
滑らかな円でも、手描きのガタガタした線でもいい。とにかく 連続で、自己交差しない ことだけ守る。

そこで突然、こんな問いが現れます。

これが有名な 内接正方形問題（Toeplitz予想 / Square Peg Problem）です。
図形としては直感的なのに、一般の場合（特に曲線が粗い場合）の証明は手強く、長く研究されてきたテーマです。

今回、私はこの問題について C⁰ Jordan 曲線（連続な単純閉曲線） を対象にしたプレプリントを公開しました。

• 英語版（Zenodo）：https://doi.org/10.5281/zenodo.18243635

• 日本語版（Zenodo）：https://doi.org/10.5281/zenodo.18239842

何が難しいのか（C⁰という条件）

C⁰というのは要するに 「連続なだけ」 という条件です。
微分可能性（接線や曲率）が仮定できないので、いわゆる“幾何の道具”が効きにくくなります。

滑らかな曲線なら「少し動かして調整する」みたいな議論ができますが、C⁰だとその“少し”の扱いがとても繊細になります。
だからこそ、位相的（トポロジー的）に「逃げ道を塞いで存在を強制する」設計が必要になります。

方針：正方形を追いかけない。存在を“強制”する

私の基本戦略は、正方形を直接つかまえに行くのではなく、

1. 曲線上の 4点の組（順序付き） を考える

2. その4点が「正方形からどれだけズレているか」を測る テスト写像（関数）を作る

3. その写像が 0 になる点があれば、そこに正方形がある

4. そして 位相的次数（degree） によって、「0を避け続けることはできない」状況を作る

5. 結果として 必ず0が出る＝正方形が存在する

という流れです。

ポイントは、degree（次数） のような位相的な量は、多少の変形や粗さに対して頑丈で、
「ゼロを踏まずに逃げ切ること」を許しにくい、というところです。

最大の敵：退化（degeneracy）

ところが、4点を動かす空間には“事故”が起きます。たとえば、

• 2点が衝突して同一点になってしまう

• 四角形が潰れてしまう

• 「ほぼ正方形」みたいな配置が境界から逃げる

こういう 退化配置 が混ざると、degreeで押し切るための前提が崩れやすい。

そこでプレプリントでは、

• 危ない領域を カットアウト（切り抜き）して除外

• 境界挙動を制御するための コンパクト化

• 次数の議論を保ったまま領域同士をつなぐ ドメイン・ブリッジ（橋渡し）

といった仕組みで、C⁰でも議論が壊れないようにしています。

読み方（おすすめルート）

普及向けに読むなら、次の順番がスムーズです。

1. **導入（イントロ）**と「見取り図」

2. テスト写像の定義と、「0＝正方形」の対応

3. 退化の処理（カットアウト／コンパクト化／橋渡し）

4. 最後に degree（相対次数）の強制で結論へ

AIとの共同作業について（明記）

このプレプリントは、私ひとりの直観と手作業に加えて、AI（ChatGPT / Gemini） を研究補助として継続的に活用しながら作りました。
英訳や文章整理だけでなく、証明の構造チェック、論理の抜けの検出、説明の反復改善といった用途でも使っています。
ただし最終的な構成・主張・検証・責任は私が負っています。

おわりに

内接正方形問題は、主張がシンプルなわりに、曲線が粗くなるほど位相の繊細さが表に出てきます。
今回のプレプリントでは、

写像を定義する → 領域を設計する → 退化を制御する → 次数で0を強制する → 正方形が出る

という“強制の機構”が追える形を目指しました。

もし「ここ分かりにくい」「この言い回しだと誤解されそう」「普及向けにこう書くと良い」などあれば、ぜひコメントください。

僕は幾何学の専門家ではなく、必要な部分は学び直しながら前に進めています。
その過程でAI（ChatGPT / Gemini）も研究補助として使い、説明や証明の穴の検出、文章整理を反復しました。