100年以上の古典理論から、新しい代数幾何理論が生まれつつあるーー個人開発した数学AIとの5本の連作

2026年8月3日から4日にかけて、個人開発した数学AIとの代数幾何研究から、5本の論文を公開しました。

最初は、一つの局所的な問題を調べる研究として始まりました。

しかし研究を進めるたびに、

• 既存の情報だけでは次の状態を決定できない

• 古典的な条件だけでは実現可能性を判定できない

• 忘れていたラベルを戻すと、新しい障害が現れる

• その障害を理解するために、新しい状態量が必要になる

ということが次々に判明しました。

その結果、単に5本の論文が並んだのではなく、基本対象、状態量、輸送則、実現障害、完全分類を備えた、一つの新しい代数幾何理論が立ち上がりつつあります。

背景にある「無限近接点」の幾何

代数曲線や曲面の特異点を調べるとき、一つの点をblowupし、その上に現れた点をさらにblowupしていくことがあります。

こうして得られる点は「無限近接点」と呼ばれます。

無限近接点の考え方は19世紀のMax Noetherにさかのぼり、Enriquesによって体系的に研究されました。1915年には、点の継承関係やproximityを図として表す方法が説明され、現在ではEnriques diagramと呼ばれています。現代では、固定されたdiagramを持つclusterの空間やHilbert schemeとの関係まで研究されています。(ケンブリッジ大学出版局)

つまり、この研究の背景には100年以上にわたって発達してきた古典的な代数幾何があります。

ただし、今回の研究は「100年前に提出された有名問題を解いた」というものではありません。

古典理論が主に記録するのは、

• blowupの中心

• 点の順序

• proximity

• multiplicity

• weighted cluster

などです。

今回の研究では、これらに加えて、binary quadratic germの係数そのものが各blowupでどのように変化し、どの情報が保存され、どの情報が失われるかを追います。

今回扱った対象

研究対象は、局所座標 x、y と二次形式の変数 u、v を使って表される

q = au² + 2buv + cv²

というprimitive binary quadratic germです。

ここでa、b、cはx、yのべき級数です。

各blowup中心では、a、b、cの最低次部分を一つの「係数packet」として保持します。そのpacketの判別式によって、各中心を大きく三つに分けます。

• N：nonbranch

• B：一定の重根を持つbranch

• M：重根が動くbranch

古典的なEnriques diagramへ、係数packet、branchの種類、重根の向き、判別式の情報を重ねていくわけです。

この「係数を持った無限近接点の幾何」が、今回形成され始めた理論の中心です。

第1論文：方向ごとに必要な情報を切り出す

Directional Jet Packets, Euclidean Resolution Forests, and Sharp Low-Cost Root Returns for Primitive Binary Quadratic Germs

最初の論文では、blowup後のすべての情報を一括して保持するのではなく、実際に後続点が存在する方向に必要なprincipal partだけを取り出す、directional jet packetを導入しました。

また、特定の二項型のgermでは、blowupによるmultiplicityの変化がEuclidean algorithmに従うことを示しました。

因子が複数方向へ分かれる場合には、一つのchainではなく「Euclidean resolution forest」が現れます。

さらにsquare cost 12以下では、branchからnonbranchを経て再びbranchへ戻る経路が、特定のmultiplicity patternに限られることを証明しました。

この論文によって、

• どの有限jetが後続構造を決定するか

• 方向ごとに最小限必要な情報は何か

• 低コストでroot labelが変化して戻るには、どんな構造が必要か

が明らかになりました。

第2論文：低コストpathを完全分類する

Moving-Root Tails and Exact Low-Cost Path Words for Primitive Binary Quadratic Germs

第1論文では、moving-root branchと、square cost 12以下の全path分類が未解決問題として残りました。

第2論文では、その問題を解決しました。

square cost 12以下で現れるmaximal path wordを6系列、46個のparameter instanceへ完全分類し、すべてについて明示的な実現例を構成しました。

重要なのは、有限計算によって候補を並べただけではないことです。

なぜほかのwordが現れないのかを構造的に証明し、許されるすべてのwordについてprimitive germを実際に構成しています。

第3論文：古典的なproximity条件だけでは足りない

Projective-Class Transport and Exact Low-Cost Realization of Proximity-Decorated Binary Quadratic Paths

次に、path wordへfree／satellite proximityを戻しました。

古典的なproximity inequalityなどからは、142個のweighted decorationが候補として現れます。binary quadratic germの局所条件を加えると、候補は124個に絞られます。

しかし、その124個がすべて実現できるわけではありませんでした。

結果は、

124候補
＝119個が実現可能
＋5個が実現不可能

という完全分類になりました。

5個の不可能性は、通常のmultiplicityやproximityだけでは検出できません。

blowupを越えて係数のprojective classがどのように運ばれるかという、projective-class transport lawが必要でした。

つまり、古典的には許容されるpathでも、係数幾何を復元すると実現不可能になる場合があることが分かりました。

第4論文：exact root labelの実現locusを完全分類する

Exact Root-Label Realization Loci in Low-Cost Proximity-Decorated Binary Quadratic Paths

第3論文では、一定の重根を持つB頂点について、正確なroot labelを意図的に忘れていました。

第4論文では、そのroot labelをVeronese conic C上の点としてすべて復元し、124行のそれぞれについて、どのラベル配置が一つのprimitive germから実現できるかを分類しました。

完全分類は、

124
＝46{pt}
＋45C
＋21ΔC
＋7(C²＼ΔC)
＋5∅

となります。

意味は次の通りです。

• 46行：root labelの自由度を持たない

• 45行：C上の任意の1ラベルを持てる

• 21行：二つのラベルが必ず一致する

• 7行：二つのラベルが必ず異なる

• 5行：実現不可能

二つの独立成分を持つ28行について、「一致する場合も異なる場合も両方可能」という行は一つもありません。

21行は一致のみ、7行は不一致のみです。

これは有限リストの分類であると同時に、各行の実現空間をconstructible locusとして記述した幾何学的分類です。

第5論文：判別式側の再帰を閉じる新しいpacket

Directional Discriminant Packets and Bounded Scalar-Profile Loci for Primitive Binary Quadratic Germs

root labelを復元した後、今度はscalar discriminant側に未解決問題が残りました。

親の中心について、

• coefficient packet

• scalar excess

• residual tangent symbol

が分かり、さらに子のcoefficient packetまで分かっていても、子のscalar excessは一意に決まりません。

論文では、これらがすべて同じなのに、子のscalar excessだけが異なるprimitive pairを構成しました。

つまり、従来の状態量では再帰が閉じていなかったのです。

そこで導入したのが、directional discriminant packetです。

これは、選択したsuccessor方向における判別式の二変数principal formを保持します。このpacketを使うことで、子のscalar excessと残余記号を正確に伝播できるようになりました。

さらに、

• 一回のscalar blowupで実現可能なpacketのexact cone

• cone内部のprojective fiber

• 境界で現れるhyperplane complement

• B₂からM₂へのexact scalar-profile band

• scalar boundを固定した場合のfinite-jet closureとconstructibility

を証明しました。

一方で、coefficient square costが4に固定されていてもscalar excessは無限に増大できるため、係数側の低コスト性だけではscalar側は有限に閉じないことも示しました。

なぜ「新しい理論」と呼べるのか

新しい理論は、新しい定理が複数あるだけでは成立しません。

同じ対象について、

• 何を基本データとするか

• どのように状態が変換されるか

• 何を忘れると再構成できなくなるか

• どの候補が実現可能か

• 実現を妨げる障害は何か

• 実現空間はどんな幾何を持つか

が共通の言語で記述される必要があります。

今回の5本には、すでに次の要素があります。

基本対象

primitive binary quadratic germと、その無限近接blowup path。

状態量

coefficient packet、B／M／N type、exact root label、scalar excess、directional discriminant packet。

輸送則

directional jet transport、projective-class transport、scalar stateのexact child propagation。

障害理論

proximityだけでは見えないprojective obstructionと、従来のscalar状態が再帰的に閉じないことを示す反例。

実現理論

許容されるpathやlabel orbitを実現する明示的normal form。

分類理論

低コストpath word、124個のproximity-decorated path、exact root-label locus、scalar blowup coneの分類。

これらは別々の問題ではありません。

blowupのたびに「何が保存され、何が変化し、何が失われるか」を一段ずつ復元する、同じ研究原理から生まれています。

仮に名前を付けるなら、

「無限近接係数パケット幾何」
Infinitely-Near Coefficient-Packet Geometry

のような理論と呼べるかもしれません。

まだ正式名称を確定する段階ではありませんが、少なくとも「5本の独立した論文」という段階はすでに越えています。

「100年以上未解決だった問題を解いた」のか

ここは正確に区別する必要があります。

今回の正確な分類問題やdirectional packetは、100年前に同じ形で提出されていた有名問題ではありません。

したがって、「100年以上未解決だった問題を解決した」と表現するのは適切ではありません。

正確には、

ということになります。

問題提起そのものが研究成果であり、その問題が単発ではなく、次の問題と構造を自然に生み出し続けている点が重要です。

個人開発した数学AIとの研究

この研究系列は、私とナギ、アカリ、スイ、そして個人開発した数学AIとの共同研究として進めています。

数学AIは、単に与えられた問題の答えを出すための道具ではありません。

研究対象を観察し、新しい区別や問題を形成し、既存の問いを置き換えながら研究を進めます。

今回も、一つの分類を終えるたびに、

• 次に何が欠けているか

• どの情報を戻すべきか

• 現在の状態量で再帰が閉じているか

• 有限分類の背後にどんな幾何があるか

が新しい研究問題として生じました。

その問いを順番に追った結果、5本の論文と一つの理論体系が形成されました。

ここから先

現在の結果は、square cost 12以下の一つのmaximal pathを主な対象とするpath-local理論です。

今後には、

• 異なるsuccessor間のsibling compatibility

• 複数pathを一つのgermへ同時に貼り合わせるwhole-tree glueing

• 全124行のscalar-locus decomposition

• scalarとroot labelを含むdecorated tree全体の分類

• より高いcostや、より高次・高階数の形式への一般化

が残っています。

それでも、基本対象、状態量、輸送則、障害、明示的実現、完全分類がすでにそろいました。

2026年8月3日から4日にかけて公開したのは、単なる5本の新論文ではありません。

100年以上の歴史を持つ古典的な無限近接点の幾何から、係数packetと判別式の情報を追う、新しい代数幾何理論が分岐し始めたのだと考えています。