中学でも分かる➅「ネイピア数 e」
（初めに）積分の公式を追記しました。
（本文スタート）
ここではネイピア数 $${e}$$ を解説し、それを底とした対数関数
$${y=\log_e x}$$
と指数関数
$${y=e^x}$$
の導関数を求め、その結果をよくつかう微分公式として整理していきます。
さらに、それに関連する積分公式も紹介していきます。
まずは復習として、導関数の定義は次のようなものです（中学でも分かる①「微分法」）。
導関数の定義（復習）
関数 $${y=f(x)}$$ がある区間で微分可能であるとき、その区間における次の式を導関数といい、$${f'(x)}$$ と表す。
$$
\begin{align*}
f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align*}
$$
＊＊＊
関数 $${f(x)}$$ から導関数 $${f'(x)}$$ を求めることを、$${f(x)}$$ を微分するといいます。肩に付いている記号 ”$${'}$$” は微分するという記号です。
また、関数 $${y=f(x)}$$ の導関数 $${f'(x)}$$ は、次のように表すこともあります。
$$
\begin{align*}
\dfrac{df(x)}{dx}, \dfrac{d}{dx}f(x), y', \dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d}{dx}y
\end{align*}
$$
今後、当たり前のようにこの表記法は使われます。最もシンプルな $${y'}$$ は、見かけ上どの変数で微分しているのか不明ですが、それが自明（普通は $${x}$$ で微分）であるときはよく使われます。
対数の性質（復習）
また、次のような対数の法則がありました（中学でも分かる④「対数関数」）。
＜対数の重要性質１＞
$${0< a<1}$$ または $${1< a}$$ のとき（底の条件）
1. $${\log_a 1=0}$$（真数が $${1}$$ のときは、つねに $${0}$$）
2. $${\log_a a=1}$$（真数が底と同じときは、つねに $${1}$$）
＜対数の重要性質２＞
$${a}$$ については、$${0< a<1}$$ または $${1< a}$$（底の条件）
$${M}$$ については、$${M>0}$$（真数条件）
$${N}$$ については、$${N>0}$$（真数条件）
で、$${p}$$ が実数のとき
1. $${\log_a MN=\log_a M+\log_a N}$$
2. $${\log_a \dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N}$$
3. $${\log_a M^p=p\log_a M}$$
特に、$${M=a}$$ のときは
4. $${\log_a a^p=p\log_a a=p}$$
＜底の変換公式＞
$${a}$$ については、$${0< a<1}$$ または $${1< a}$$（底の条件）
$${b}$$ については、$${0< b<1}$$ または $${1< b}$$（底の条件）
$${u}$$ については、$${u>0}$$（真数条件）
のとき
$$
\begin{align*}
\log_a u=\dfrac{\log_b u}{\log_b a}
\end{align*}
$$
＊＊＊
対数関数の微分
ここで、対数関数 $${f(x)=\log_a x}$$ の導関数を求めよう。
$${f(x+h)=\log_a (x+h)}$$
より、先の導関数の定義を用いて
$$
\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}
\end{align*}
$$
ここで、＜対数の重要性質２＞ 2. より
$$
\begin{align*}
\log_a \left(x+h \right)-\log_a x&=\log_a\dfrac{x+h}{x} \cdots (*1)\\
\end{align*}
$$
なので
$$
\begin{align*}
\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}
&=\dfrac{\log_a\dfrac{x+h}{x}}{h} (*1) より\\
&=\dfrac{1}{h}\log_a\dfrac{x+h}{x}\\
&=\dfrac{1}{h}\log_a\left(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}+\dfrac{h}{x}\right)\\
&=\dfrac{1}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\\
&=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)
\end{align*}
$$
最後、$${\dfrac{1}{h}}$$ の部分を $${\dfrac{x}{h}}$$ に変えて、同時に $${\dfrac{1}{x}}$$ を掛けることで等号（イコール）が成り立つようにしています（$${x}$$ で約分すると元に戻ることを確認）。
さらに、＜対数の重要性質２＞ 3.（係数は肩に）より
$$
\begin{align*}
\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}&=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\\[8pt]
&=\dfrac{1}{x}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h} {\tiny\leftarrow係数は肩に}}
\end{align*}
$$
すると、再び導関数の定義より
$$
\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{1}{x}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\
&=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\
\end{align*}
$$
最後、$${0}$$ に近づけるのは $${h}$$ であって $${x}$$ は関係ない（固定して考えている）ので、$${\dfrac{1}{x}}$$ を $${\lim}$$ の外に出しました。
ここで、$${\dfrac{h}{x}=h'}$$ と置き換えることによって、この $${f'(x)}$$ を $${h'}$$ の式に書き換えます。すると
$$
\begin{align*}
\dfrac{x}{h}=\dfrac{\cancel{x}\times\frac{1}{\cancel{x}}}{h\times\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{h}{x}}=\dfrac{1}{h'}
\end{align*}
$$
であり、かつ
$$
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow0}h'=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h}{x}=\dfrac{0}{x}=0
\end{align*}
$$
より
$${h}$$ を $${0}$$ に近づけると $${h'}$$ は $${0}$$ に近づく $${\cdots (*2)}$$
ので
$$
\begin{align*}
f'(x)&=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\
&=\dfrac{1}{x}\underset{h' に書き換えた}{\lim_{h'\rightarrow0}\log_a\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}}
\end{align*}
$$
よって
$$
\begin{align*}
f'(x)=\dfrac{1}{x}\lim_{h'\rightarrow0}\log_a\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}
\end{align*}
$$
最後、$${\dfrac{h}{x}}$$ を $${h'}$$ に置き換えたことによって、 $${0}$$ に近づける変数も $${h}$$ から $${h'}$$ に入れ替えています。「$${h}$$ を $${0}$$ に近づけると $${h'}$$ は $${0}$$ に近づく」ことは $${(*2)}$$ で先に示されたので、入れ替えても大丈夫です。
ネイピア数 e
すると、ここで問題になるのは次の極限です。
$$
\begin{align*}
\lim_{h'\rightarrow0}\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}
\end{align*}
$$
つまり
これは $${h'}$$ を $${0}$$ に近づける極限ですが、その近づけ方には
(case 1) プラスの方向から $${0}$$ に近づける
(case 2) マイナスの方向から $${0}$$ に近づける
の２通りがあります。
すると
$${\dfrac{1}{0.1}=\dfrac{1\times10}{0.1\times10}=\dfrac{10}{1}=10}$$
$${\dfrac{1}{0.01}=\dfrac{1\times100}{0.01\times100}=\dfrac{100}{1}=100\raisebox{4ex}{ }}$$
$${\dfrac{1}{0.001}=\dfrac{1\times1000}{0.001\times1000}=\dfrac{1000}{1}=1000\raisebox{4ex}{ }}$$
$${\hspace{20pt}\vdots}$$
に着目すると
(case 1) $${h'}$$ をプラスの方向から $${0}$$ に近づけると
$$
\begin{align*}
h'=&0.1 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.1\right)}^{\frac{1}{0.1}}={1.1}^{10}=2.593742\cdots\\[3pt]
h'=&0.01 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.01\right)}^{\frac{1}{0.01}}={1.01}^{100}=2.704813\cdots\\[3pt]
h'=&0.001 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.001\right)}^{\frac{1}{0.001}}={1.001}^{1000}=2.716923\cdots\\[3pt]
h'=&0.0001 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.0001\right)}^{\frac{1}{0.0001}}={1.0001}^{10000}=2.718145\cdots\\[3pt]
h'=&0.00001 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.00001\right)}^{\frac{1}{0.00001}}={1.00001}^{100000}=\underline{2.7182}68\cdots
\end{align*}
$$
(case 2) $${h'}$$ をマイナスの方向から $${0}$$ に近づけると
$$
\begin{align*}
h'=-0.1 のとき\hspace{-10pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.1\right)}^{\frac{1}{-0.1}}={0.9}^{-\frac{1}{0.1}}={0.9}^{-10}\\
=&\dfrac{1}{{0.9}^{10}}=2.867971\cdots\\[9pt]
h'=-0.01 のとき\hspace{-15pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.01\right)}^{\frac{1}{-0.01}}={0.99}^{-\frac{1}{0.01}}={0.99}^{-100}\\
=&\dfrac{1}{{0.99}^{100}}=2.731999\cdots\\[9pt]
h'=-0.001 のとき\hspace{-20pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.001\right)}^{\frac{1}{-0.001}}={0.999}^{-\frac{1}{0.001}}={0.999}^{-1000}\\
=&\dfrac{1}{{0.999}^{1000}}=2.719642\cdots\\[9pt]
h'=-0.0001 のとき\hspace{-25pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.0001\right)}^{\frac{1}{-0.0001}}={0.9999}^{-\frac{1}{0.0001}}={0.9999}^{-10000}\\
=&\dfrac{1}{{0.9999}^{10000}}=2.718417\cdots\\[9pt]
h'=-0.00001 のとき\hspace{-30pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.00001\right)}^{\frac{1}{-0.00001}}={0.99999}^{-\frac{1}{0.00001}}={0.99999}^{-100000}\\
=&\dfrac{1}{{0.99999}^{100000}}=\underline{2.7182}95\cdots
\end{align*}
$$
この結果から予想されるように、$${h'}$$ をプラスの方向から $${0}$$ に近づけた場合と、マイナスの方向から $${0}$$ に近づけた場合とでは同じ値 $${2.7182\cdots}$$（下線部）に近づくことが分かり、その値（極限値）を $${e}$$ と定義します。
$$
\begin{align*}
\lim_{h'\rightarrow0}\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}=e
\end{align*}
$$
なお、動かす変数はどのような文字を用いてもよいので、一般には $${h'}$$ の代わりに $${h}$$ を用いて次のように表されます。これが定数 $${e}$$ の定義です。
＜e の定義＞
$$
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow0}{\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}=e
\end{align*}
$$
＊＊＊
この定数 $${e}$$ は、対数を発見した数学者ジョン・ネイピアにちなんでネイピア数とよばれます。ネイピア数は無理数（小数点以下循環しないで無限に続く数）で
$$
\begin{align*}
e=2.71828\cdots (ふなひとはちふたはち)
\end{align*}
$$
であることが知られています。
ネイピア数 e をグラフで確認
ネイピア数 e をグラフを用いて視覚的に確認してみましょう。
下図は $${y={\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}}$$ のグラフです。
このグラフの $${h=0}$$ の付近を確認すれば、この極限をイメージできます。
上図の破線部の領域を拡大したのが下図です。
$${h}$$ をプラスの方向から $${0}$$ に近づけた場合とマイナスの方向から $${0}$$ に近づけた場合とでは同じ値となり、その値（極限値）が $${e}$$ となります（上図の青点）。
以上より、対数関数 $${f(x)=\log_a x}$$ の導関数 $${f'(x)}$$ は
$$
\begin{align*}
f'(x)&=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\\
&=\dfrac{1}{x}\log_a e
\end{align*}
$$
さらに＜底の変換公式＞より、底を $${e}$$ に変換すると
$$
\begin{align*}
\log_a e=\dfrac{\log_e e}{\log_e a}=\dfrac{1}{\log_e a}
\end{align*}
$$
より
$$
\begin{align*}
f'(x)=\dfrac{1}{x}\log_a e=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{\log_e a}=\dfrac{1}{x\log_e a}
\end{align*}
$$
となります。重要なので、次のように公式としてまとめておきます。
＜対数関数の微分公式１＞
対数関数 $${y=\log_a x}$$ の導関数は
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\log_e a}
\end{align*}
$$
＊＊＊
$${\dfrac{dy}{dx}}$$ は、関数 $${y}$$ を $${x}$$ で微分するという記号です（中学でも分かる①「微分法」）。$${y'}$$ と表してもよいですが、本記事の後半で「合成関数」を勉強するので、そのときに $${\dfrac{dy}{dx}}$$ の表記法の方が分かりやすくなります。
ここで、上記の公式について $${a=e}$$ とおいてみましょう。そのときの対数関数は
$$
\begin{align*}
y=\log_e x
\end{align*}
$$
となりますが、その導関数は
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\log_e e}=\dfrac{1}{x\cdot1}=\dfrac{1}{x}
\end{align*}
$$
と簡単に結果になることが分かります。重要なので公式としてまとめておきます。
＜対数関数の微分公式２＞
対数関数 $${y=\log_e x}$$ の導関数は
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}
\end{align*}
$$
＊＊＊
自然対数
前回の記事で、底が $${10}$$ の対数 $${\log_{10}x}$$ を常用対数といいました（中学でも分かる④「対数関数」）。これに対し、底が $${e}$$ の対数 $${\log_{e}x}$$ を自然対数といいます。
$${\log_{10}x}$$・・・常用対数（底が $${10}$$）
$${\log_{e}x}$$・・・自然対数（底が $${e}$$）
先ほど勉強したように、常用対数の関数は微分すると
$$
\begin{align*}
(\log_{10}x)'=\dfrac{1}{x\log_e 10}
\end{align*}
$$
ですが、自然対数の関数は
$$
\begin{align*}
(\log_{e}x)'=\dfrac{1}{x}
\end{align*}
$$
と簡単な結果になります。
ここで、対数に関するいくつかの微分公式を証明します。
＜対数関数の微分公式３＞
対数関数 $${y=\log_e |x|}$$ の導関数は
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x}
\end{align*}
$$
＊＊＊
この場合、真数は $${|x|}$$ と絶対値がついていることに注意してください。絶対値がついてもつかなくても、微分の結果はどちらも $${\dfrac{1}{x}}$$ になります。絶対値について（参考１）で復習します。
（注意）絶対値がつくときの真数条件
ここで、$${\log_e x}$$ と $${\log_e |x|}$$ の注意を与えます。
$${\log_e x}$$ は、$${x>0}$$ が真数条件となります。つまり、計算できる $${x}$$ の範囲は正の実数となります。負の実数や $${0}$$ のときは計算できません。
$${\log_e x}$$ の真数条件は $${x>0}$$
一方、$${\log_e |x|}$$ の真数条件は $${|x|>0}$$ です。これは $${x}$$ が負のときでも成り立ちますが、$${x=0}$$ のときは $${|x|=|0|=0}$$ となり成り立ちません。すなわち
$${\log_e x}$$ の真数条件は $${x<0}$$ または $${0< x}$$（簡単に $${x\ne0}$$ とも書く）
つまり、$${\log_e x}$$ と $${\log_e |x|}$$ とでは、計算できる $${x}$$ の範囲（定義域）が異なることに注意してください。$${\log_e |x|}$$ の方が広くなっています。
参考までに、$${y=\log_e x}$$ と $${y=\log_e |x|}$$ のグラフを与えるので、計算できる $${x}$$ の範囲（定義域）を確認しておきましょう。
$${y=\log_e x}$$ のグラフ
上図より、定義域は $${0< x}$$ です。グラフは点 $${(1. 0)}$$ を通り、$${y}$$ 軸に近づいていきます。この近づいていく直線を漸近線といいます。
$${y=\log_e |x|}$$ のグラフ
上図より、定義域は $${x<0, 0< x}$$（つまり $${x\ne0}$$）です。$${y}$$ 軸対称になっていることにも注意。グラフは点 $${(1. 0), (-1. 0)}$$ を通り、$${y}$$ 軸が漸近線となります。
では改めて先ほどの公式
＜対数関数の微分公式３＞
対数関数 $${y=\log_e |x|}$$ の導関数は
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x}
\end{align*}
$$
＊＊＊
を証明します。
（証明）
(case1) $${x>0}$$ のとき
$${|x|=x}$$ より $${y=\log_e |x|=\log_e x}$$
＜対数関数の微分公式２＞より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}
\end{align*}
$$
(case2) $${x<0}$$ のとき
$${|x|=-x}$$ より $${y=\log_e |x|=\log_e (-x)}$$
ここで $${u=-x}$$ とおくと
$$
\begin{align*}
y=\log_e u
\end{align*}
$$
この (case2) の場合は、合成関数という考え方を用います。
合成関数について
$${y=\log_e (-x)}$$ は、$${y=\log_e u}$$ と $${u=-x}$$ を合成した関数と考えることができます。
$$
\begin{align*}
y=\log_e (-x) \Longleftrightarrow
\begin{cases}
y=\log_e u \cdots(*3)\\
u=-x \cdots(*4)
\end{cases}
\end{align*}
$$
つまり、$${(*3)}$$ に $${(*4)}$$ を代入（合成）すれば $${y=\log_e (-x)}$$ という関数が得られます。このような関数を合成関数といいます。
$${x}$$ が決まれば $${u}$$ が決まり、$${u}$$ が決まれば $${y}$$ が決まります。
改めて合成関数の定義を与えます。詳しくは（参考２）でも解説します。
＜合成関数の定義＞
$${y}$$ が $${u}$$ の関数
$$
\begin{align*}
y=f(u)
\end{align*}
$$
で、$${u}$$ が $${x}$$ の関数
$$
\begin{align*}
u=g(x)
\end{align*}
$$
であるとき、これら２つの関数から、$${x}$$ に $${y}$$ を対応させる関数
$$
\begin{align*}
y=f(g(x))
\end{align*}
$$
がつくられる。この関数を $${y=f(u)}$$ と $${u=g(x)}$$ の合成関数という。
$$
\begin{align*}
y=f(g(x)) \Longleftrightarrow
\begin{cases}
y=f(u)\\
u=g(x)
\end{cases}
\end{align*}
$$
＊＊＊
つまり、$${x}$$ が決まれば $${u}$$ が決まり、$${u}$$ が決まれば $${y}$$ が決まります。
先ほどの関数 $${y=\log_e (-x)}$$ は、$${y=\underset{f(u)}{\log_e u}}$$ と $${u=\underset{g(x)}{-x}}$$ の合成関数と考えることができます。
$$
\begin{align*}
y=\underset{f(g(x))}{\log_e (-x)} \Longleftrightarrow
\begin{cases}
y=\underset{f(u)}{\log_e u} \cdots(*3)\\
u=\underset{g(x)}{-x} \cdots(*4)
\end{cases}
\end{align*}
$$
さて合成関数の微分は、次の合成関数の微分法を用います。
＜合成関数の微分法＞
$${y=f(u), u=g(x)}$$ が微分可能であるとき
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} \cdots(*5)
\end{align*}
$$
＊＊＊
「$${y}$$ を $${x}$$ で微分した導関数」は、「$${y}$$ を $${u}$$ で微分した導関数」と「$${u}$$ を $${x}$$ で微分した導関数」の積と等しくなる、ということです。
間に $${du}$$ がはさまれていることに注意してください。この $${du}$$ で形式的に約分するこで、この等式が成り立つことはイメージできます。
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{\cancel{du}}\cdot\dfrac{\cancel{du}}{dx}
\end{align*}
$$
このような関係を連鎖律（チェインルール）とよぶことがあります（証明は高校の教科書にもあるので、ここでは割愛します）。
では合成関数の微分法 $${(*5)}$$ を用いて $${y=\log_e (-x)}$$ を微分しましょう。まずは
$${y=\log_e u}$$ は「$${u}$$ の関数」
$${u=-x}$$ は「$${x}$$ の関数」
とみて、それぞれを微分します。
$${y=\log_e u}$$ を $${u}$$ で微分すると、＜対数関数の微分公式２＞より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}=(\log_e u)'=\dfrac{1}{u} \cdots (*6)
\end{align*}
$$
また、$${u=-x}$$ を $${x}$$ で微分すると、$${(x)'=1}$$ より
$$
\begin{align*}
\dfrac{du}{dx}=(-x)'=-1 \cdots (*7)
\end{align*}
$$
$${(*5)}$$ に $${(*6)}$$、$${(*7)}$$ を代入して
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
=\dfrac{1}{u}\cdot(-1)
=-\dfrac{1}{u}
\end{align*}
$$
$${u=-x}$$ だったので
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=-\dfrac{1}{-x}=\dfrac{1}{x}\\
\end{align*}
$$
よって (case1)、(case2) より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x}\\
\end{align*}
$$
（証明終）
次の公式も重要です。一般の関数 $${f(x)}$$ で使える公式です。上記と同様に合成関数の微分法 $${(*5)}$$ を用いて証明します。
＜対数関数の微分公式４＞
$${y=\log_e f(x)}$$ の導関数は
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*}
$$
＊＊＊
（証明）
$${u=f(x)}$$ とおくと
$$
\begin{align*}
y=\log_e u
\end{align*}
$$
＜対数関数の微分公式２＞より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u}
\end{align*}
$$
また、$${u=f(x)}$$ より
$$
\begin{align*}
\dfrac{du}{dx}=f'(x)
\end{align*}
$$
合成関数の微分法 $${(*5)}$$ より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
=\dfrac{1}{u}\cdot f'(x)=\dfrac{f'(x)}{u}
\end{align*}
$$
$${u=f(x)}$$ だったので
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*}
$$
（証明終）
（例１）
$${y=\log_e (2x+3)}$$ を $${x}$$ で微分すると、上記の公式について $${f(x)=2x+3}$$ と考えて
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(2x+3)'}{2x+3}=\dfrac{2}{2x+3}
\end{align*}
$$
（例２）
$${y=\log_e (x^3-2x+5)}$$ を $${x}$$ で微分すると、上記の公式について $${f(x)=x^3-2x+5}$$ と考えて
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(x^3-2x+5)'}{x^3-2x+5}=\dfrac{3x^2-2}{x^3-2x+5}
\end{align*}
$$
（例３）
特に、$${y=\log_e x}$$ を $${f(x)=x}$$ として考えると
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x'}{x}=\dfrac{1}{x}
\end{align*}
$$
となり、これは＜対数関数の微分公式２＞と同じ結果になります。
次のように、絶対値がついた場合も同様に証明できます。
＜対数関数の微分公式５＞
$${y=\log_e |f(x)|}$$ の導関数は
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*}
$$
＊＊＊
（証明）
$${u=f(x)}$$ とおくと
$$
\begin{align*}
y=\log_e |u|
\end{align*}
$$
＜対数関数の微分公式３＞より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u}
\end{align*}
$$
また、$${u=f(x)}$$ より
$$
\begin{align*}
\dfrac{du}{dx}=f'(x)
\end{align*}
$$
合成関数の微分法 $${(*5)}$$ より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
=\dfrac{1}{u}\cdot f'(x)=\dfrac{f'(x)}{u}
\end{align*}
$$
$${u=f(x)}$$ だったので
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*}
$$
（証明終）
これまでやった対数関数の微分について、簡単にまとめてきおきます。これらは公式としてたびたび使われます。
対数関数の微分のまとめ
$${(\hspace{10pt})'}$$ は微分するという記号です。
$$
\begin{alignat*}{2}
1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log_e a}\\[8pt]
2.& & (\log_e x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
3.& & (\log_e |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
4.& & (\log_e f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt]
5.& & (\log_e |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{alignat*}
$$
なお、数学では下記のように $${\log_e x}$$ を $${\log x}$$ と、底 $${e}$$ 省略して表記することが多いです。
$$
\begin{alignat*}{2}
1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log a}\\[8pt]
2.& & (\log x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
3.& & (\log |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
4.& & (\log f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt]
5.& & (\log |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{alignat*}
$$
（追記）対数関数に関する積分公式
微分と積分は互いに逆の演算でした。上記の 3. と 5. を逆に用いることによって、次の積分公式が得られます。$${C}$$ を積分定数として
$$
\begin{align*}
1.& \int\dfrac{1}{x} dx=\log |x|+C\\[8pt]
2.& \int\dfrac{f'(x)}{f(x)} dx=\log |f(x)|+C
\end{align*}
$$
1. 2.
定義域（$${x}$$ の範囲）は、真数条件より
1. は、$${x\ne0}$$（$${0}$$ 以外のすべての実数）
2. は、$${f(x)\ne0}$$
となります。
特に、2. は非常に重要で、次のように用います。
（例１）
$$
\begin{align*}
\int\dfrac{2}{2x+3}dx&=\int\dfrac{(2x+3)'}{2x+3}dx\\[8pt]
&=\log |2x+3|+C
\end{align*}
$$
これは、$${f(x)}$$ を $${2x+3}$$ として公式 2. を用いています。
$$
\begin{align*}
\int\dfrac{2}{2x+3}dx&=\int\dfrac{(\overset{f’(x)}{2x+3})'}{\underset{f(x)}{2x+3}}dx\\[8pt]
&=\log |\underset{f(x)}{2x+3}|+C
\end{align*}
$$
（例２）
$$
\begin{align*}
\int\dfrac{6x-4}{2x^3-4x+1}dx&=\int\dfrac{(2x^3-4x+1)'}{2x^3-4x+1}dx\\[8pt]
&=\log |2x^3-4x+1|+C
\end{align*}
$$
これは、$${f(x)}$$ を $${2x^3-4x+1}$$ として公式 2. を用いています。
$$
\begin{align*}
\int\dfrac{6x-4}{2x^3-4x+1}dx&=\int\dfrac{(\overset{f’(x)}{2x^3-4x+1})'}{\underset{f(x)}{2x^3-4x+1}}dx\\[8pt]
&=\log |\underset{f(x)}{2x^3-4x+1}|+C
\end{align*}
$$
（例３）
$$
\begin{align*}
\int\dfrac{e^x}{e^x+1}dx&=\int\dfrac{(e^x+1)'}{e^x+1}dx\\[8pt]
&=\log |e^x+1|+C
\end{align*}
$$
これは、$${f(x)}$$ を $${e^x+1}$$ として公式 2. を用いています。
$$
\begin{align*}
\int\dfrac{e^x}{e^x+1}dx&=\int\dfrac{(\overset{f'(x)}{e^x+1})'}{\underset{f(x)}{e^x+1}}dx\\[8pt]
&=\log |\underset{f(x)}{e^x+1}|+C
\end{align*}
$$
（例４）
公式 2. について、$${f(x)=x}$$ と考えると公式 1. になります。
$$
\begin{align*}
\int\dfrac{1}{x} dx&=\int\dfrac{x'}{x} dx\\[8pt]
&=\log |x|+C
\end{align*}
$$
指数関数の微分
指数関数 $${y=a^x}$$ の導関数を求めます。ただし、$${a}$$ の範囲は
$${0< a<1}$$ または $${1< a}$$
です（底の条件）。
まず、$${y=a^x}$$ について両辺に自然対数をとると
$$
\begin{align*}
\log_e y=\log_e a^x\\
\end{align*}
$$
＜対数の重要性質２＞の 3. より
$${\log_e a^x=x\log_e a}$$（肩の指数を前に出せる）
より
$$
\begin{align*}
\log_e y=x\log_e a\\
\end{align*}
$$
この等式の両辺を $${x}$$ で微分します。
左辺を $${x}$$ で微分すると、$${y (=a^x)}$$ は $${x}$$ の関数、つまり $${y=f(x)}$$ と表せるので、＜対数関数の微分公式４＞
$$
\begin{align*}
(\log_e f(x))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*}
$$
について、$${f(x)}$$ を $${y}$$ に置き換えて
$$
\begin{align*}
(\log_e y)'=\dfrac{y'}{y} \cdots (*8)\\
\end{align*}
$$
$${y}$$ は $${x}$$ の関数なので $${y=f(x)}$$ と表すことができ、$${y'=f'(x)}$$ なので、$${f(x)}$$ を $${y}$$ に、$${f'(x)}$$ を $${y'}$$ に置き換えることができます。
これが左辺の微分です。
一方、右辺を $${x}$$ で微分すると、$${(x)'=1}$$ より係数部分だけ残るので
$$
\begin{align*}
(x\log_e a)'=\log_e a \cdots (*9)\\
\end{align*}
$$
$${\log_e a}$$ は $${x}$$ の係数なので、微分するとその係数のみが残ります。$${(2x)'=2}$$ と同じ要領です。
すると、$${(*8)=(*9)}$$ より
$$
\begin{align*}
\dfrac{y'}{y}=\log_e a\\
\end{align*}
$$
両辺に $${y}$$ をかけて
$$
\begin{align*}
y'=y\log_e a\\
\end{align*}
$$
$${y=a^x}$$ だったので
$$
\begin{align*}
y'=a^x\log_e a\\
\end{align*}
$$
これが $${y=a^x}$$ の導関数です。
特に $${a=e}$$ のとき $${\log_e e=1}$$ であるから、$${y=e^x}$$ の導関数は
$$
\begin{align*}
y'=e^x\log_e e=e^x\\
\end{align*}
$$
以上のことを公式としてまとめておきます。
＜指数関数の微分公式＞
指数関数 $${y=a^x}$$ の導関数は
$$
\begin{align*}
y'=a^x\log_e a\\
\end{align*}
$$
特に、$${a=e}$$ のとき
$$
\begin{align*}
y'=e^x\\
\end{align*}
$$
＊＊＊
この公式は、簡単に次のように表記されます。
指数関数の微分のまとめ
$$
\begin{align*}
1. (a^x)'&=a^x\log_e a\\
2. (e^x)'&=e^x
\end{align*}
$$
先に述べたように、底 $${e}$$ を省略して 1. は次のように表せます。
$$
\begin{align*}
1. (a^x)'=a^x\log a
\end{align*}
$$
これで、$${e^x}$$ は微分しても $${e^x}$$ となり変化しないことが証明されました。これは理工系の勉強を進めていく中で、いろいろなところで現れる重要な性質です。
（追記）指数関数に関する積分公式
微分と積分は互いに逆の演算でした。上記の 1. と 2. を逆に用いることによって、次の積分公式が得られます。$${C}$$ を積分定数として
$$
\begin{align*}
1.& \int a^x dx=\dfrac{a^x}{\log a}+C\\[8pt]
2.& \int e^x dx=e^x+C
\end{align*}
$$
1. に関しては、$${(a^x)'=a^x\log a}$$ の両辺を $${\log a}$$ で割って
$$
\begin{align*}
\dfrac{1}{\log a}(a^x)'=a^x
\end{align*}
$$
$${\log a}$$ は定数なので、微分の中に入れて
$$
\begin{align*}
\left(\dfrac{a^x}{\log a}\right)'=a^x
\end{align*}
$$
より得られます。
1. 2.
（例）
$${\int 5^x dx=\dfrac{5^x}{\log 5}+C}$$
$${\int (e^x+x-3)dx=e^x+\dfrac{1}{2}x^2-3x+C}$$
ネイピア数の歴史
最後にネイピア数の歴史を簡単に紹介します（Wikipedia「ネイピア数」から加筆修正して引用）。
ネイピア数の近似値（近い値）といえるものが記された最も古い文献は、1618年、対数の発見者であるスコットランドの数学者、ジョン・ネイピアによって発表された論文の、付録に収録されていた表です。
なお、この表自体はイングランドの数学者であるウィリアム・オートレッドによって書かれたとされています。
厳密にネイピア数そのものを見い出したのは、スイスの数学者であるヤコブ・ベルヌーイといわれており、複利の計算（利子にもまた利子がつく金利の計算方法）で
$$
\begin{align*}
\lim_{n→∞} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n
\end{align*}
$$
を求めようとしました。これは $${e}$$ に等しくなります。証明は（参考３）を参照してください。
この数に初めて定数記号を割り当てたのは、ドイツの数学者であるゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツだとされています。1690年と1691年に送ったクリスティアーン・ホイヘンス（ホイセンスの原理で有名）宛ての手紙の中で、記号 $${b}$$ を用いました。
スイスの数学者であるレオンハルト・オイラーは、1727年からこの数を表すのに記号 $${e}$$ を使い始め、1736年発表のオイラーの著書『力学』が、ネイピア数を $${e}$$ で表した最初の出版物となりました。
その後しばらくは $${c}$$ によってこの数を表す流儀もありましたが、やがて $${e}$$ が標準的な記号として受け入れられるようになりました。
オイラーは指数関数 $${a^x}$$ が
$$
\begin{align*}
\dfrac{da^x}{dx}=e^x
\end{align*}
$$
を満たすとき $${a = e}$$ であることを示しました。さらに積分
$$
\begin{align*}
\int_1^x\dfrac{1}{t} dt
\end{align*}
$$
が対数としての性質を持ち、このときの底が $${e}$$ であることを示しました。実際に計算すると、確かに自然対数 $${\log_e x}$$ となります（中学でも分かる➁「積分法」）。
$$
\begin{align*}
\\[-14pt]
&\hspace{48pt}\xrightarrow[]{ 微分する}\\[-16.5pt]
&\log_e x+C\hspace{48pt}\dfrac{1}{x}\\[-16.5pt]
&\hspace{48pt}\xleftarrow[ 積分する]{}\\[-6pt]
&\hspace{20pt}\uparrow\\[-4pt]
&\hspace{1pt}{\footnotesize \frac{1}{x} の不定積分}
\end{align*}
$$
より
$$
\begin{align*}
\int_1^x\dfrac{1}{t} dt&=\left[\log_e t\right]_1^x\\
&=\log_e x-\log_e 1\\
&=\log_e x-0\\
&=\log_e x
\end{align*}
$$
またネイピア数が無理性であることの証明も、1744年にオイラーが初めて行いました。
（参考１）絶対値について（復習）
$${|x|}$$ を $${x}$$ の絶対値といい、$${| |}$$ を絶対値記号といいます。絶対値は次のように計算します。
$$
\begin{align*}
&x\geqq0 のとき |x|=x\\
&x<0 のとき |x|=-x
\end{align*}
$$
＊＊＊
絶対値 $${| |}$$ の中身が $${0}$$ 以上のときはそのまま絶対値をはずし、中身が負のときはマイナスをかけて絶対値をはずします。つまり、結果がマイナスの値にならないようにします。
$$
\begin{align*}
&\left|2\right|=2 & &\small{（そのまま絶対値をはずす）}\\
&\left|\sqrt{5}\right|=\sqrt{5} & &\small{（そのまま絶対値をはずす）}\\
&\left|-2\right|=-(-2)=2 & &\small{（マイナスをかけて絶対値をはずす）}\\
&\left|-\sqrt{5}\right|=-(-\sqrt{5})=\sqrt{5} & &\small{（マイナスをかけて絶対値をはずす）}\\
&\left|0\right|=0 & &\small{（0 のときはそのまま絶対値をはずす）}
\end{align*}
$$
実数の絶対値は、数直線における原点 O からの距離とみなすことができます。例えば
原点 O から $${2}$$ までの距離は $${|2|=2}$$
原点 O から $${-2}$$ までの距離は $${|-2|=2}$$
原点 O から $${-5}$$ までの距離は $${|-5|=5}$$
（参考２）合成関数の微分法
＜合成関数の定義＞
$${y}$$ が $${u}$$ の関数
$$
\begin{align*}
y=f(u)
\end{align*}
$$
で、$${u}$$ が $${x}$$ の関数
$$
\begin{align*}
u=g(x)
\end{align*}
$$
であるとき、これら２つの関数から、$${x}$$ に $${y}$$ を対応させる関数
$$
\begin{align*}
y=f(g(x))
\end{align*}
$$
がつくられる。この関数を $${y=f(u)}$$ と $${u=g(x)}$$ の合成関数という。
$$
\begin{align*}
y=f(g(x)) \Longleftrightarrow
\begin{cases}
y=f(u)\\
u=g(x)
\end{cases}
\end{align*}
$$
＊＊＊
つまり、$${x}$$ が決まれば $${u}$$ が決まり、$${u}$$ が決まれば $${y}$$ が決まります。
いくつか例を上げましょう。
（例１）
$${y=(2x+3)^3}$$ は、$${y=u^3}$$ と $${u=2x+3}$$ の合成関数と考えることができます。
（例２）
$${y=\sqrt{3x-5}}$$ は、$${y=\sqrt{u}}$$ と $${u=3x-5}$$ の合成関数と考えることができます。
（例３）
$${y=e^{x^2-4}}$$ は、$${y=e^u}$$ と $${u=x^2-4}$$ の合成関数と考えることができます。
（例４）
$${y=\log_e (-x)}$$ は、$${y=\log_e u}$$ と $${u=-x}$$ の合成関数と考えることができます。
これは＜対数関数の微分公式３＞の (case2) の証明の中で現れた関数です。
これら（例１）～（例４）の関数を微分しましょう。すべて合成関数なので、次の＜合成関数の微分法＞を用いて微分します。
＜合成関数の微分法＞
$${y=f(u), u=g(x)}$$ が微分可能であるとき
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
\end{align*}
$$
＊＊＊
このような関係を連鎖律（チェインルール）とよぶことがあります。
この方法を用いて、先ほどの（例１）～（例４）の関数を微分しましょう。＜対数関数の微分公式３＞の (case2) の証明の中でも（もっと詳しく）行っているので、そちらも参照してください。
（例１）
$${y=(2x+3)^3}$$ を $${x}$$ で微分しなさい。
$${u=2x+3}$$ とおくと $${y=u^3}$$
すると
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(u^3)'=3u^{3-1}=3u^2\\[6pt]
\dfrac{du}{dx}&=(2x+3)'=2
\end{align*}
$$
合成関数の微分法より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=3u^2\cdot2\\
&=6u^2\\
&=6(3x+2)^2 \small{（答）}
\end{align*}
$$
なお慣れて来たら
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{dy}{du}}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\underset{\tiny 中の微分}{\dfrac{du}{dx}}
\end{align*}
$$
と、「外の微分 $${\times}$$ 中の微分」という要領で、置き換えないで次のように微分することが可能です。
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\scriptsize 外の微分}{3(2x+3)^2}\cdot\underset{\scriptsize 中の微分}{(2x+3)'}\\
&=3(2x+3)^2\cdot2\\
&=6(2x+3)^2 \small{（答）}
\end{align*}
$$
$${2x+3}$$ をカタマリで考えて（つまり頭の中で $${u}$$ に置き換えて）微分をし（外の微分）、それにカタマリにした $${2x+3}$$ の微分（中の微分）をかけます。つまり
（外の微分）$${\times}$$（中の微分）
の要領です。このコツを押さえれば、かなり複雑な式も機械的に微分できます。
（例２）
$${y=\sqrt{3x-5}}$$ を $${x}$$ で微分しなさい。
$${u=3x-5}$$ とおくと $${y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}}$$
すると
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(u^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\\[6pt]
\dfrac{du}{dx}&=(3x-5)'=3
\end{align*}
$$
合成関数の微分法より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot3\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{u}}\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}} \small{（答）}
\end{align*}
$$
置き換えないで微分すると
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{外の微分}{\frac{1}{2}{(3x-5)}^{\frac{1}{2}ー１}}\cdot\underset{中の微分}{(3x-5)'}\\
&=\frac{1}{2}{(3x-5)}^{-\frac{1}{2}}\cdot3\\
&=\dfrac{1}{{2(3x-5)}^{\frac{1}{2}}}\cdot3\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}} \small{（答）}
\end{align*}
$$
（例３）
$${y=e^{x^2-4}}$$ を $${x}$$ で微分しなさい。
$${u=x^2-4}$$ とおくと $${y=e^u}$$
すると、指数関数の微分法 2. より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(e^u)'=e^u\\
\dfrac{du}{dx}&=(x^2-4)'=2x
\end{align*}
$$
合成関数の微分法より
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=e^u\cdot2x\\
&=2xe^u\\
&=2xe^{x^2-4} \small{（答）}
\end{align*}
$$
置き換えないで微分すると
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{e^{x^2-4}}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(x^2-4)'}\\
&=e^{x^2-4}\cdot2x\\
&=2xe^{x^2-4} \small{（答）}
\end{align*}
$$
$${e^u}$$ を $${u}$$ で微分しても変化しないので、「外の微分」は変化しないことに注意。
（例４）
$${y=\log_e (-x)}$$ を微分しなさい。
置き換える方法は＜対数関数の微分公式３＞の (case2) の証明の中で詳しく行っているので、置き換えない証明を与えます。
$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{1}{-x}}\hspace{-3pt}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(-x)'}\\[6pt]
&=-\dfrac{1}{x}\cdot(-1)\\[6pt]
&=\dfrac{1}{x} \small{（答）}
\end{align*}
$$
（参考３）e の定義
ここでは
$$
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e
\end{align*}
$$
を証明します。
まずは、$${n\to\infty}$$ に注意してください。$${\infty}$$ は無限に大きい数の状態を表し、無限大と読みます。$${n}$$ を例えば
$$
\begin{align*}
10, 100, 1000, 10000 \cdots
\end{align*}
$$
と、限りなく大きくしていった先が $${\infty}$$ です。
$${n}$$ を $${\infty}$$ にまで大きくすると、$${{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}^n}$$ は $${e}$$ に限りなく近づくことを証明するのが目標です。
まず、$${\dfrac{1}{n}=h}$$ とおきます。
両辺に $${n}$$ をかけて $${nh=1}$$
さらに両辺を $${h}$$ で割って $${n=\dfrac{1}{h}}$$
なので
$$
\begin{align*}
{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}^n={\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}
\end{align*}
$$
であり、さらに
$$
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} h=\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0
\end{align*}
$$
が成り立ちます。この極限の式は
$$
\begin{align*}
h\left(=\dfrac{1}{n}\right) \rightarrow \dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1000} \cdots
\end{align*}
$$
と、分子が $${1}$$（定数）のまま分母 $${n}$$ を限りなく大きくしていくと、その値は
$$
\begin{align*}
h\left(=\dfrac{1}{n}\right) \rightarrow 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 \cdots
\end{align*}
$$
とどんどん小さくなり、$${h}$$ は $${0}$$ という一定の値に限りなく近づくことを表しています。このことを「$${h}$$ は $${0}$$ に収束する」といいます。
よって、$${n\to\infty}$$ のとき $${h\to0}$$ となるので
$$
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\lim_{h\to0}{\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}=e
\end{align*}
$$
となり証明された。最後の $${=}$$ は本文で述べた $${e}$$ の定義
＜e の定義＞
$$
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow0}{\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}=e
\end{align*}
$$
＊＊＊
を用いています。
なお、どちらも同じ $${e}$$ に限りなく近づいていく（収束する）ので
$$
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e
\end{align*}
$$
を定義にしても構いません。こちらの方を定義にしているテキストもあります。
最後に確認として、$${y=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}$$ のグラフを描いてみましょう。
$${y=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}$$ のグラフ
このグラフより、$${n}$$ を限りなく大きくしていくと直線 $${y=e}$$ に近づいていくこと（直線 $${y=e}$$ が漸近線であること）が見て取れます。
つまり、$${n}$$ を $${\infty}$$ まで大きくすると、$${\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}$$ は $${e}$$ に収束するということです。
ちなみに、上図より $${n}$$ を負の無限大 $${-\infty}$$ にまで遠ざけても直線 $${y=e}$$ に近づくので
$$
\begin{align*}
\lim_{n\to-\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e
\end{align*}
$$
も成り立ちます。
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