【大人の学び直し数学 Vol.27】 数学の景色が変わる日 〜「関数」という名のブラックボックス〜

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これまで私たちは、長い時間をかけて「方程式」という道具を磨いてきました。

「リンゴの値段はいくらか？」「二人が出会うのは何分後か？」

これらはすべて、「ある条件を満たす正解（犯人）を一人の特定する」という作業でした。言わば、決定的な瞬間を切り取る「写真」の世界です。

しかし、現実はもっと複雑です。

時間は止まってくれませんし、状況は刻一刻と変化します。

「もし、リンゴの値段が変わったら？」「もし、出発する時間がズレたら？」

今日から始まる新しい章では、静止画の世界を飛び出し、「変化」と「関係」を扱う動画（ムービー）の世界へ足を踏み入れます。 その主役となるのが、数学嫌いの人が最も顔をしかめる言葉、「関数かんすう」です。

今回は、皆様が嫌いな「ややこしい計算」は一切しません。

その代わり、これからの旅のパートナーとなる$${x}$$と$${y}$$という記号だけは、「入口」と「出口」を表す名札（あだ名）として使わせてください。

まずはこの「関数」という言葉が持つ、本当の意味とイメージを掴んでいただきます。

1. 「関数」って、なんの数？

「関わる数」と書いて、関数。

なんとなく「$${x}$$と$${y}$$が関係してるんでしょ？」というイメージはあるかもしれません。

しかし、英語では Function（機能・働き） と言います。

「数」というよりは、「機能」や「システム」に近い言葉です。

実は、明治時代にこの言葉が日本に入ってきたとき、当時の数学者たちはこれを「函数」と訳しました。

中国語では今でも「函数」と書きます。

ここに使われている「函」という字。

これ、何と読むかご存知でしょうか？

これは訓読みで「はこ」と読みます。

（投函、函館などの言葉に残っていますね）。

つまり、関数とは「数の箱」という意味なのです。

これが関数の本質を理解する最大のヒントです。

2. 数学的な「自動販売機」

関数とは、ズバリ「魔法の箱（ブラックボックス）」のことです。

イメージしやすいように、「自動販売機」を想像してください。

1. 入力（Input）： お金を入れる $${\rightarrow}$$ ここを$${x}$$と呼びます。

2. 機能（Function）： 内部で選別・計算される（箱）

3. 出力（Output）： ジュースが出てくる $${\rightarrow}$$ ここを$${y}$$と呼びます。

この一連の流れが「関数」です。

上から数字（$${x}$$）を入れると、箱の中で何らかの加工（2倍されたり、5を足されたり）をされて、下から別の数字（$${y}$$）が出てくる。

この「箱そのもの」あるいは「箱の機能」のことを関数と呼びます。

3. 関数のたった一つのルール（数学編）

では、ここから少し数学的な話をします。

「$${x}$$と$${y}$$に関係があれば、なんでも関数なのか？」というと、そうではありません。

関数と呼ばれるためには、たった一つだけ、絶対に守らなければならない厳しいルールがあります。

これを、実際の数学の例で見てみましょう。

○ 関数である例：『2倍する箱』

「入れた数字を2倍して出す」という箱を考えます。

（式で書くと$${ y = 2x }$$です）

• $${x}$$に$${3}$$を入れる $${\rightarrow y}$$ は絶対に $${6}$$になる。

• $${x}$$に$${-5}$$を入れる $${\rightarrow y}$$ は絶対に $${-10}$$ になる。

答え（出力）は一つしかありませんよね。「6かもしれないし、8かもしれない」とはなりません。

だから、これは「$${y}$$は$${x}$$の関数である」と言えます。

× 関数ではない例：『2乗するとその数になる箱』

逆に、「2乗すると$${x}$$になる数を出せ」という箱を考えてみましょう。

• $${x}$$に$${9}$$を入れる $${\rightarrow}$$ 2乗して9になる数は？

  • 答えは$${3}$$

  • しかし、$${-3}$$もあります（$${-3 \times -3 = 9}$$だから）。

このように、入力（$${x}$$）を一つ決めたのに、出力（$${y}$$）が「3」と「-3」の2つ出てきてしまいました。

ボタンを一回押したのに、ジュースが2本出てきたり、あるいは何も出てこなかったりする。

これは「予測不能」な状態であるため、数学の世界では「$${y}$$は$${x}$$の関数ではない」と判断します。

まとめ：数学的な定義

最後に、今日のお話を数学の言葉でまとめておきます。

教科書にはこう書かれています。

なぜ「ただ一つ」にこだわるのか。

それは、関数が「未来予測のツール」だからです。

「$${x}$$（原因）が決まれば、必ず$${y}$$（結果）が決まる」

この因果関係が確定しているからこそ、私たちは計算だけで未来を予測し、コントロールすることができるのです。

さて、この「魔法の箱」には様々な種類が存在しますが、次回はその中でも最もシンプルで、最も美しい箱をご紹介します。

その名は、「比例（Proportion）」。

世界を最も単純化して捉えるその仕組みを、次回は解剖していきましょう。