数式: たんたん＃１

数式を淡々たんたんと書き連ねるノート

私のノートに出てくる数式たち

随時追加（最終更新：2026/01/26 18:09）

相対性理論

相対論的速度合成の式「速度加法則」

$$
\Large
v = \frac{a+b}{1+\frac{ab}{c^2}}=c
$$

v = \frac{a+b}{1+\frac{ab}{c^2}=c}

宇宙式を通じて等価とするならば、

$$
\Large
v = \frac{a+b}{1+\frac{ab}{(c^2)^2}}=c^2
$$

v = \frac{a+b}{1+\frac{ab}{(c^2)^2}}=c^2

とする。

$$
v=\frac{a+b}{1+\frac{ab}{(c^2)^2}}=c^2=(x+c)^2-x(x+2c)=f(x;c)
$$

v=\frac{a+b}{1+\frac{ab}{(c^2)^2}}=c^2=(x+c)^2-x(x+2c)=f(x;c)

宇宙式の x, y 合成

正しく恒等式で結ぶには、宇宙式を x, y へ拡張し合成しなければならない。

$$
F(x, y; c) := f(x + y; c) = (x + y + c)^2 - (x + y)(x + y + 2c) = c^2
$$

F(x, y; c) := f(x + y; c) = (x + y + c)^2 - (x + y)(x + y + 2c) = c^2

こうすると全部で成り立つという狂気になる（笑）ヤバい。
$${x=a, y=b, c=c}$$

$$
F(a, b; c) := f(a + b; c) = (a + b + c)^2 - (a + b)(a + b + 2c) = c^2
$$

としてリンクさせてから、

$$
v(a, b, c) = \frac{a+b}{1+\frac{ab}{c^4}}=c^2=(a + b + c)^2 - (a + b)(a + b + 2c)
$$

但し、$${c^2=a}$$ または $${c^2=b}$$ で $${a\ge b}$$ または $${b > a}$$ でも入れ替え可

x=a, y=b, c=c
F(a, b; c) := f(a + b; c) = (a + b + c)^2 - (a + b)(a + b + 2c) = c^2
v(a, b, c) = \frac{a+b}{1+\frac{ab}{c^4}}=c^2=(a + b + c)^2 - (a + b)(a + b + 2c)
※但し、c^2=a または c^2=b で a\ge b または b > a でも入れ替え可

関連

ラピディティ

このラピディティというのが出てくると上記の計算遊びが破綻する。

ラピディティの定義と役割

ラピディティは、速度 $${v}$$ と光速 $${c}$$ を用いて、双曲線関数や自然対数で以下のように定義されます。

$$
y = \operatorname{artanh}\left(\frac{v}{c}\right) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+v/c}{1-v/c}\right)
$$

y = \operatorname{artanh}\left(\frac{v}{c}\right) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+v/c}{1-v/c}\right)

ここで $${\operatorname{artanh}}$$ は逆双曲線正接関数です。この定義により、ローレンツ変換（特殊相対性理論における座標変換）が単純な双曲線回転として表現できるようになり、数学的な取り扱いが非常に簡単になります。

うーん？この…。

オイラーの等式（公式）

$$
e^{i\pi} = -1
$$

$$
e^{i\pi} + 1 = 0
$$

• e: 自然対数の底（約2.71828）

• i: 虚数単位（$i^2 = -1$）

• π: 円周率（約3.14159）

• 1: 単位元

• 0: 零元

$$
e^{ix} = \cos x + i \sin x
$$

ここで、$${x}$$ は実数です。

e^{ix} = \cos x + i \sin x

この式に $${x = \pi}$$ を代入すると、次のように計算できます。

$$
e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1
$$

したがって、$${e^{i\pi} + 1 = 0}$$ が得られます。

オイラーの等式は、一見すると単純な等式ですが、数学、物理学、工学など、さまざまな分野で重要な役割を果たしています。例えば、複素数の理解、フーリエ変換、波動の記述などに使われています。

永遠に続く旅路

数式に興味を持った印象的な式、だったかな？🤔

$$
\arctan(\infty) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2 (2k+1)} = \frac{\pi}{2}
$$

\arctan(\infty) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2 (2k+1)} = \frac{\pi}{2}

※数式テスト
どころではない！！！

グレゴリー・ライプニッツ級数

$$
\arctan(\infty) = 2\cdot\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}}{2k+1}} = 2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}
$$

\arctan(\infty) = 2\cdot\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}}{2k+1}} = 2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

驚いた事実（ワタシ的に）

あーくたん☆素数版

$$
F(t) = \sum_p \arctan(t \cdot \log p)
$$

F(t) = \sum_p \arctan(t \cdot \log p)

# Python

# arctan ヒートマップ

import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

# 素数リスト（視覚的に複雑になりすぎない程度に）
primes = list(sp.primerange(1, 30))  # 1から30までの素数を取得

# 実部と虚部のグリッド（複素平面 t = x + iy）
SIZE = 2
x_vals = np.linspace(-SIZE, SIZE, 200)
y_vals = np.linspace(-SIZE, SIZE, 200)
X, Y = np.meshgrid(x_vals, y_vals)
T = X + 1j * Y  # 複素数グリッド

# 合成関数 F(t) = sum arctan(t * log p)
# 拡張：複素 t に対する関数値の絶対値 |F(t)| を可視化
F_complex = np.zeros_like(T, dtype=np.complex128)

for p in primes:
    F_complex += np.arctan(T * np.log(p))

# 可視化用：|F(t)| の強度
magnitude = np.abs(F_complex)

※少ない素数のほうが、縦に並ぶ非自明なゼロ点と類似の素数スペクトルが可視化しやすい。

複素関数化

$$
F(t) = \sum_{p} e^{-i t \log p} = Θ(t)
$$

F(t) = \sum_{p} e^{-i t \log p} = \Theta(t)

リーマンゼータ関数の非自明なゼロ点と F(t) 波形が一致

これはリーマンゼータ関数とは違うものだけど、ゼータ関数が内部で持っている「素数コア部」のゼータ関数の扱う素数成分を抽出した式。

素数そのものの素数式と言っても良い。かもしれない。

グラフ描画コード

# Python
# 素数のリスト（代表的なものを使う）
primes = list(sp.primerange(1, 100))  # 1から100までの素数を取得

zeros = [mp.zetazero(n) for n in range(1, 10)]  # 最初の10個のゼロ点

# t の範囲（虚部）
t_vals = np.linspace(0.1, 50, 1000)
sigma = 0.5  # 臨界線上


# 再定義した回転偏角関数 Θ(t)
def theta(t, primes, sigma):
    angles = []
    for p in primes:
        # 複素数の形で計算
        z = 1 - np.exp(-sigma * np.log(p)) * np.exp(-1j * t * np.log(p))
        angle = np.angle(z)  # 複素数の偏角を計算
        angles.append(angle)
    return -np.sum(angles, axis=0)


# Θ(t) の計算
theta_vals = np.array([theta(t, primes, sigma) for t in t_vals])

関連記事

完全に一致！（あたりまえ？だろうけど…）

ゼータ関数オイラー積表示における偏角の動き虚部のグラフと重ねたもの。

$$
\Theta(t) \quad \text{vs} \quad \arg  \zeta_e(s)
$$

これは本当に偶然。いあ？必然の出会い！（私にとっては超偶然！！）
ぴったりと重なる結果にたどり着く（帰着する）瞬間は超楽しい！

対数時間変換 + フーリエ位相
各項 $${e^{-i t \log p}}$$ は、次の変換に等しい：

$$
e^{-i t \log p} = p^{-i t}
$$

以下の式と等価

$$
F(t) = \sum_{p}{p^{-i t}} \quad
\normalsize \left(\leftarrow 現在の注目株 \right)
$$

F(t) = \sum_{p}{p^{-i t}}

素数分布形成関数

実はこれはリーマンゼータ関数の対数微分から導かれる項に現れる

$$
\LARGE
\Theta(t) = F(t) = \sum_{p} e^{-i t \log p} = \sum_{p}{p^{-i t}}
$$

\Theta(t) = F(t) = \sum_{p} e^{-i t \log p} = \sum_{p}{p^{-i t}}

Gemma 3 曰く
素数指数関数 (Prime Number Exponential Function) と呼ばれる関数
しかし、Google 検索 AI の回答
素数指数関数という言葉自体は数学の一般的な用語ではありません。しかし、素数と指数関数を組み合わせた概念を説明するなら、いくつかの可能性が考えられます。例えば、素数の指数関数値の数列や、素数の指数関数の性質などを指すかもしれません。
けれど英語表現だと、否定しないので日本語表現が無いだけと言える
A prime number exponential function, often used in number theory, involves representing prime numbers and their powers using exponents. For example, the prime factorization of 12 can be expressed as 2² * 3, where 2 is the base and 2 is the exponent. This notation helps in understanding the composition of numbers and in various mathematical operations.

オイラーゼータ関数

$$
\\[2pt]
\Large
\zeta_e(s) = \prod_{p} \frac{e^{\,\sigma \log p}}{| e^{\,(\sigma+it) \log p} - 1 |}
$$

\zeta_e(s) = \prod_{p} \frac{e^{\sigma \log p}}{| e^{(\sigma+it) \log p} - 1 |}

恒等式（※要、式再検証）

$$
\boxed{
\arg \left( \prod_{p \in \text{Primes}} \frac{p^s}{p^s - 1} \right)
= - \sum_{p \in \text{Primes}} \arg \left( 1 - e^{-\sigma \log p} \cdot e^{-it \log p} \right)
}
$$

• $${(s = \sigma + it)}$$、特に $${\left(\sigma = \frac{1}{2}\right)}$$

• 各項は複素回転子 $${(\theta_p = t \log p)}$$ に基づいておる

\arg \left( \prod_{p \in \text{Primes}} \frac{p^s}{p^s - 1} \right)= - \sum_{p \in \text{Primes}} \arg \left( 1 - e^{-\sigma \log p} \cdot e^{-it \log p} \right)

📜 別の書き方（指数形式で整理）

素因数ごとの回転角 $${(\theta_p = t \log p)}$$ を使って、
より幾何学的に整理するなら：

$$
\boxed{
\arg\left( \prod_p \frac{e^{\sigma \log p}}{\left| e^{(\sigma + it) \log p} - 1 \right|} \right)
= \sum_p \arg\left( \frac{1}{1 - e^{-(\sigma + it) \log p}} \right)
}
$$

\arg\left( \prod_p \frac{e^{\sigma \log p}}{\left| e^{(\sigma + it) \log p} - 1 \right|} \right)= \sum_p \arg\left( \frac{1}{1 - e^{-(\sigma + it) \log p}} \right)

そしてこの右辺を、より抽象的に：

$$
\boxed{
\Theta(t) := - \sum_p \arg \left( 1 - e^{-\sigma \log p} \cdot e^{-it \log p} \right)
}
$$

\Theta(t) := - \sum_p \arg \left( 1 - e^{-\sigma \log p} \cdot e^{-it \log p} \right)

LEAN 形式証明：オイラーゼータ関数の収束性など。

リーマンゼータ関数

ゼータ関数の定義
通常の定義（収束範囲 $${\Re(s) > 1}$$

$$
\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}, \quad \Re(s) > 1
$$

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}, \quad \Re(s) > 1

オイラー積表示

$$
\zeta(s) = \prod_{p\in\mathrm{Primes}}{\frac{1}{1-p^{-s}}}\\
↓\\
式の展開：
1 + p^{-s} + p^{-2s} + p^{-3s} + \cdots\\
項の変換：\frac{1}{1 - p^{-s}} = \frac{1}{\frac{p^s - 1}{p^s}} = \frac{p^s}{p^s - 1}\\
↓\\
\zeta(s) = \prod_{p\in\mathrm{Primes}}{\frac{p^s}{p^s - 1}}\\
$$

よって上記は等価である。

\zeta(s) = \prod_{p\in\mathrm{Primes}}{\frac{1}{1-p^{-s}}}

\zeta(s) = \prod_{p\in\mathrm{Primes}}{\frac{p^s}{p^s - 1}}

解析接続されたゼータ関数
すべての複素数 $${s(s\neq 1)}$$ への拡張を暗示する場合：

$$
\zeta(s) = \text{解析接続による拡張} \quad (\text{for } s \neq 1)
$$

関数方程式
ゼータ関数の関数方程式（対称性の基盤）：

$$
\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)
$$

\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)

ゼータ関数の積分表示
収束範囲 $${\Re(s) > 1}$$ での積分形式：

$$
\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x - 1} , dx
$$

\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x - 1} , dx

主なゼータ関数の解

$${s = 2, 4, 6, \dots}$$ においては、オイラーがこう書いた：

$$
\zeta(2n) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{(2\pi)^{2n} B_{2n}}{2(2n)!} \quad (B_{2n}=ベルヌーイ数)
$$

(そうか!!この式で薄々は気づいてたけど深入りしなかった 2025/04/08 14:46)

$${\zeta(2)=\frac{π^2}{6} \quad \longrightarrow \quad \zeta(2)\cdot 6=\pi^2}$$
$${\zeta(4)=\frac{π^4}{90} \quad \longrightarrow \quad \zeta(4)\cdot 90=\pi^4}$$
$${\zeta(6)=\frac{π^6}{945} \quad \longrightarrow \quad \zeta(6)\cdot 945=\pi^6}$$

\zeta(2n) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{(2\pi)^{2n} B_{2n}}{2(2n)!} \quad (B_{2n}=ベルヌーイ数)

$${\zeta(2)=\frac{π^2}{6} \quad \longrightarrow \quad \zeta(2)\cdot 6=\pi^2}$$
$${\zeta(4)=\frac{π^4}{90} \quad \longrightarrow \quad \zeta(4)\cdot 90=\pi^4}$$
$${\zeta(6)=\frac{π^6}{945} \quad \longrightarrow \quad \zeta(6)\cdot 945=\pi^6}$$

$$
\boxed{\quad
\zeta(s) = \frac{\zeta_{\text{odd}}(s)}{1 - 2^{-s}}
\quad}
$$

\zeta(s) = \frac{\zeta_{\text{odd}}(s)}{1 - 2^{-s}}

偶関数と奇関数（フーリエ解釈）

$$
\boxed{
\Re\left(\frac{1}{n^s}\right) = \frac{\cos(t \log n)}{n^\sigma}
}, \quad
\boxed{
\Im\left(\frac{1}{n^s}\right) = -\frac{\sin(t \log n)}{n^\sigma}
}
$$

非自明なゼロ点検出関数
※通常関数（複素関数ではない）

$$
\boxed{\quad
\zeta\left(\frac{1}{2} + it \right) = 0
\iff
\sum_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{\sqrt{p}} \cos(t \log p) \text{ is minimized}
\quad}
$$

$$
P_{zw}(t) = \sum_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{\sqrt{p}} \cos(t \log p)
$$

P_{zw}(t) = \sum_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{\sqrt{p}} \cos(t \log p)

会話の過去履歴から探れるというので探ったら $${\frac{1}{\sqrt{p}}}$$ は、その時の会話で「適当につけた重み」と判明。なので取ってしまって良い。

$$
P_{\text{pure}}(t) = \sum_{p\in\mathbb{P}}{\cos(t \log p)}
$$

P_{\text{pure}}(t) = \sum_{p\in\mathbb{P}}{cos(t \log p)}

Riemann Zeta 関数の位相の微分解析式

概要：
Riemann zeta 関数の複素位相（argument）は、次のように定義されます：

$$
\theta(t; \sigma) = \arg \zeta(s) = \arg \zeta(\sigma + it)
$$

\theta(t; \sigma) = \arg \zeta(s) = \arg \zeta(\sigma + it)

しかしこの定義は一般に微分には適しません。
そこで代わりに、逆三角関数の形式で記述し直します：

$$
\theta(t; \sigma) = \arctan \left( \frac{\mathrm{Im}, \zeta(s)}{\mathrm{Re}, \zeta(s)} \right)
$$

\theta(t; \sigma) = \arctan \left( \frac{\mathrm{Im}, \zeta(s)}{\mathrm{Re}, \zeta(s)} \right)

この「2倍の arctan」は、複素数の偏角 $${\arg(z)}$$ を $${\arctan\left(\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\right)}$$ によって表す実数関数による滑らかな近似であり、数値的にも可視化にも便利な形式です。

微分解析式：

$$
\frac{d\theta}{dt} = \frac{ \mathrm{Re}(\zeta) \cdot \frac{d}{dt} \mathrm{Im}(\zeta) - \mathrm{Im}(\zeta) \cdot \frac{d}{dt} \mathrm{Re}(\zeta)}{ \mathrm{Re}(\zeta)^2 + \mathrm{Im}(\zeta)^2 }
$$

\frac{d\theta}{dt} = \frac{ \mathrm{Re}(\zeta) \cdot \frac{d}{dt} \mathrm{Im}(\zeta) - \mathrm{Im}(\zeta) \cdot \frac{d}{dt} \mathrm{Re}(\zeta)}{ \mathrm{Re}(\zeta)^2 + \mathrm{Im}(\zeta)^2 }

より洗礼された表記：

$$
\frac{d\theta}{dt} = \frac{ \Re \zeta \cdot \frac{d}{dt} \Im \zeta - \Im \zeta \cdot \frac{d}{dt} \Re \zeta }{ |\zeta|^2 }
$$

\frac{d\theta}{dt} = \frac{ \Re \zeta \cdot \frac{d}{dt} \Im \zeta - \Im \zeta \cdot \frac{d}{dt} \Re \zeta }{ |\zeta|^2 }

詳細は以下のノート：

📈 グラフのコード Google Colab ⇒ JupyterNotebook

リーマンシーゲルシータ関数

$$
\theta(t) = \Im\left(\log \Gamma\left(\frac{1}{4} + \frac{it}{2}\right)\right) - \frac{t}{2} \log \pi
$$

\theta(t) = \Im\left(\log \Gamma\left(\frac{1}{4} + \frac{it}{2}\right)\right) - \frac{t}{2} \log \pi

まさかこれが上記のグラフの根源…ではなく同値の関数と後から気づく。

B - ベルヌーイ数

ベルヌーイ数が生成される母関数

$$
\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n
$$

\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n

e - ネイピア数

複利計算の式

$$
A = P{\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}}
$$

A = P{\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}}

ネイピア数 $${e}$$ は、複利計算の極限として知られています。

$${P = \lim_{n\to\infty}}$$
$${r = 1, t = 1}$$
とすると
$${A = e}$$
として、この計算は次の式で表されます：

$$
e = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}
$$

e = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}

これは、この世界の自然数 $${\mathbb{N}}$$ 自然対数の底 $${e}$$ となる。

異世界の e （動的調和数論 DHNT）

多世界の自然数 $${\mathbb{N}_k}$$ の底 $${e_k}$$

$$
e_k^k = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^n}
$$

これは、つまり

$$
e^x = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}, \quad \text{for any $x \in \mathbb{R}$}
$$

$$
e^z = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{z}{n}\right)^n}, \quad \text{for any $z \in \mathbb{C}$}
$$

に、過ぎない。

e_k^k = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^n}

e^x = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}, \quad \text{for any $x \in \mathbb{R}$}
e^z = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{z}{n}\right)^n}, \quad \text{for any $z \in \mathbb{C}$}

単元 π による e 生成

$$
e_\pi^\pi = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{\pi}{n}\right)^n} = e^\pi
$$

これも、成り立つ。そして、これが。

多世界の自然数 $${\mathbb{N}_k}$$

$$
\mathbb{N}_{k=1^2} = \{1, 2, 3, \dots, k\cdot n_i\}
$$

$${\mathbb{N_i}: こちらの世界の自然数}$$

$$
a_n = a_0 + \ln(e^k) \cdot d \cdot n = a_0 + k \cdot d \cdot n\\
$$

$${a_0: 初項}$$
$${k: 単数}$$
$${d: 差}$$
$${n: n 番目}$$

a_n = a_0 + \ln(e^k) \cdot d \cdot n = a_0 + k \cdot d \cdot n

a_0: 初項
k: 単数
d: 差
n: n 番目

不明…。

ん？（これは何だっけ？）

$$
{\lim_{x\to\infty} f(x) \quad 極限式}
$$

i - 虚数単位

虚数単位 $${i}$$

$$
e^{i\pi} = -1 \quad \text{虚数世界の単位？ $\Longleftrightarrow$ $(e^{i\pi} +1=0, e^1=e, \ln e = 1)$}
$$

$${i = \sqrt{-1}, i^2 = -1}$$
$${π = 3.1415926535897\dots}$$

オイラーの等式、ネイピア数、自然対数の底 e

虚数世界の自然対数の底 $${e_i}$$

$$
e_i^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n}
$$

e_i^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n}

$${1 = \left(\frac{i\pi}{i\pi}\right)}$$

動的調和数論 DHNT 虚数 $${i_k}$$

虚数単位は拡張性がある

$$
i_k = \sqrt{-k}
$$

これは、以下の式に展開して捉えれば良い

$$
i_k = i\cdot\sqrt{k} = \sqrt{-1\cdot k}
$$

$$
k = 2 → \sqrt{-2}, \quad i_k^2 = -2
$$

F / P - 力場

#HopeSeed

HS: HopeSeed = F = f(r)

basic

$$
F(r) = \sqrt[r]{g^s} = g^{\frac{s}{r}}
$$

$${\vec{r} = |\vec{F_1} - \vec{F_0}|}$$: 距離
$${g > 1}$$: 世界定数 （この世界はたぶん e → $${\pi}$$ らしい！2025/04/14）
$${s > 0}$$: $${s = \frac{2 i \pi |x|}{\log(g)}}$$

F(r) = \sqrt[r]{g^s} = g^{\frac{s}{r}}

$$
\text{HopeSeed} = \sqrt[|r|]{g^s}, \quad
s = \frac{2 i \pi |x|}{\log(g)}
$$

\text{HopeSeed} = \sqrt[|r|]{g^s}, \quad s = \frac{2 i \pi |x|}{\log(g)}

advance

$$
F(r)=A(g^{-kr})+C
$$

$${A}$$ ※調整用
$${k > 1}$$ ※調整用
$${C}$$ ※調整用

F(r)=A(g^{-kr})+C

HF: HopeField = P = p(r)

basic

$$
P = F
$$

$${\vec{r} = |\vec{F_0} - \vec{P_r}|}$$ 距離

advance

$$
P = MF-K+Z
$$

$${M = \left(M_{max} - \sum_{m}F_m\right)}$$ 許容密度指数
$${K = -k(r - r_0)}$$ 弾性復元力
$${Z}$$ ゼロ点エネルギー

F inverse

$$
F_{inv}(r) = -F(r)
$$

$$
F_{sum}(r) = F(r) + F_{inv}(r)
$$

ズレと場の差＝🟨

宇宙式 N+1=(P+1)^2

宇宙式: 原典

数学: 素数: 素数積 Pk と Ps 素数面積比の関係

素数積 P_k 小さな素数からの積
素数面積 P_s (素数積+1)^2 -1
その比 P_r = P_s /P_k
関係 P_r = P_k + 2

\begin{array}{l}
P_1 = 2, (P_1+1)^2 - 1 = 8, P_s / P_1 = P_r = 4.0\\
P_2 = 6, (P_2+1)^2 - 1 = 48, P_s / P_2 = P_r = 8.0\\
P_3 = 30, (P_3+1)^2 - 1 = 960, P_s / P_3 = P_r = 32.0\\
P_4 = 210, (P_4+1)^2 - 1 = 44520, P_s / P_4 = P_r = 212.0\\
P_5 = 2310, (P_5+1)^2 - 1 = 5340720, P_s / P_5 = P_r = 2312.0\\
P_6 = 30030, (P_6+1)^2 - 1 = 901860960, P_s / P_6 = P_r = 30032.0\\
P_7 = 510510, (P_7+1)^2 - 1 = 260621481120, P_s / P_7 = P_r = 510512.0\\
P_8 = 9699690, (P_8+1)^2 - 1 = 94084005495480, P_s / P_8 = P_r = 9699692.0\\
P_9 = 223092870, (P_9+1)^2 - 1 = 49770429091022640, P_s / P_9 = P_r = 223092872.0\\
P_{10} = 6469693230, (P_{10}+1)^2 - 1 = 41856930503247219360, P_s / P_{10} = P_r = 6469693232.0\\
\end{array}

この結果より $y = x^2 + 2x = x(x + 2)$ という関係が得られる。

N / P - 整数と素数

$$
\Large
N+1 = (P+1)^2
$$

N+1 = (P+1)^2

整数と素数の関係式

$$
N + 1 = (P_k + 1)^2
$$

$$
P_k = \prod_{p\in\mathrm{Primes}}{p}, \quad (  p \space は任意の素数の積 )
$$

N + 1 = (P_k + 1)^2
P_k = \prod_{p\in\mathrm{Primes}}{p}, \quad (  p \space は任意の素数の積 )

一般的な表現で

$$
N + 1 = (P + 1)^2
$$

N + 1 = (P + 1)^2

恒等式として

$$
N + 1 - (P + 1)^2 = 1
$$

$$
(x+1)^2-x(x+2) = 1
$$

学術的に

$$
N_{+1}=P_{+1}^2
$$

N_{+1}=P_{+1}^2

試算：

$${48 + 1 = (2\times3+1)^2 = 49 = 7^2}$$
$${960 + 1 = (2\times3\times5+1)^2 = 961 = 31^2}$$
$${120 + 1 = (2\times5+1)^2 = 121 = 11^2}$$

これは以下へ、式変換が可能

$$
N = (P_k + 1)^2 - 1
$$

$$
N = P_k \times (P_k+2)
$$

より、一般的に

$$
N = (P + 1)^2 - 1
$$

$$
N = P_{+1}^2 - 1
$$

$$
N = P(P+2)
$$

$$
N = P^2 + 2P
$$

ABC予想との関連

ABC予想の定義

ABC予想の証明方法

$$
a + b = c
$$

a + b = c

ここで、宇宙式との対応で書き直す

$$
N_1 = P(P + 2)
$$

N_1 = P(P + 2)

$$
N_2 = N_1 + 1 = (P+1)^2
$$

N_2 = N_1 + 1 = (P+1)^2

$$
\begin{align*}
a &= N_1 = P(P + 2) \\
b &= 1 \quad （※１に固定）\\
c &= N_2 = (P+1)^2 \\
a + b = c & = N_1 + 1 = N_2 \\
&=P(P + 2) + 1 = (P+1)^2
\end{align*}
$$

\begin{align*}
a &= N_1 = P(P + 2) \\
b &= 1 \quad （※１に固定）\\
c &= N_2 = (P+1)^2 \\
a + b = c &= N_1 + 1 = N_2 \\
&=P(P + 2) + 1 = (P+1)^2
\end{align*}

補正項方程式

$${c - a = b = 1 \quad (差分)}$$

$$
(P+1)^2 - P(P+2) = 1
$$

(P+1)^2 - P(P+2) = 1

ABC予想の rad(abc) への展開

ABC予想の rad(abc) は、上記より以下に展開できます。

$$
\mathrm{rad}(abc) = \text{rad}(P \cdot (P+2) \cdot (P+1))
$$

\mathrm{rad}(abc) = \text{rad}(P \cdot (P+2) \cdot (P+1))

対数成長を当てはめてみる

$$
\begin{align*}
\log c &= 2 \log (P + 1) \\
\\
\log(\mathrm{rad}(abc)) &= \sum_{p \mid P(P+1)(P+2)} \log p
\end{align*}
$$

\begin{align*}
\log c &= 2 \log (P + 1) \\
\log(\mathrm{rad}(abc)) &= \sum_{p \mid P(P+1)(P+2)} \log p
\end{align*}

（これは何の話かを書きまとめてリンクを貼ること✍️）

第２宇宙式 N=p+pq+q

b = 1 ⇒ b = x

$${{b\ne1}}$$ とするには $${N_3}$$ へと $${1}$$ を昇華する必要がある。

定義

$$
N = P+(P+1)Q = p + pq + q
$$

$${P = p}$$: 素数の積、または任意の数
$${Q = (P+1)q}$$: Pとの素数の積、または任意の数

N = P+(P+1)Q = p + pq + q
P = p: 素数、または素数の積、または任意の数
q = p': p と異なる素数、または任意の素数の積
Q = (P+1)q: Pとの素数の積、または任意の数

導出過程

$$
x = P, \quad y = P^2, \quad z = P + P^2 = P(P + 1)
\quad\text{with}\quad x + y = z
$$

x = P, \quad y = P^2, \quad z = P + P^2 = P(P + 1)\quad\text{with}\quad x + y = z

但し、ABC予想の式 $${a + b = c}$$ とするならば、

$$
x = P, \quad y = Q, \quad z = P + Q
$$

$$
c = P + P^2 = P(P+1) \quad (= P+Q  は互いに素)
$$

ABC予想対応
x = P, \quad y = Q, \quad z = P + Q
c = P + P^2 = P(P+1) \quad (= P+Q  は互いに素)

$${P}$$: 素数の積
$${P^2}$$: その平方数

具体的対応

1. P = p = 任意の素数、または素数の積

2. Qp = q = p 以外の新たな素数、または P の一部含む 新たな素数の積

3. Q = (p+1)q
   > ※P の一部、含んでは駄目なのは
   　「ABC予想」問題の対称とする数ならば含んではいけない！
   　普通の計算であるならば a + b = c なのでどんな数でも問題ない。
   .

4. a = P

5. b = Q

6. c = P + Q = p + (p+1)Qp
   よって、

7. c = a + b = p + (p+1)q = p + pq + q　という Symmetry 式 になる！

試算

test-1:

P = p{2, 3, 5} = 30
Q = (30+1)・Qp{7} = 31 x 7 = 217

a + b = c = P + Q = c
30 + 217 = c = 247 = (30 + 30x7 + 7) = 30 + 210 + 7 = 247

test-2:

P = p{7, 19} = 133
Q = (133+1)・Qp{29, 31} = (133+1)・899 = 120466

133+120466=120599=(133+133x899+899)=120599

test-3:

P = p{2, 31, 37} = 2294
Qp = q{2, 7, 13} = 182　※P の一部 2 を含む
Q = (2294+1)*182=417690

※しかし、この２つの P, Q は互いに素ではなくなる

2294+417690=419984=(2294+2294x182+182)=419984

test-4:

P = 1.234
Qp = 7
Q = (P+1)Qp = (1.234+1)*7=15.638

※実数で成り立つ！

1.234+15.638=16.872=1.234+1.234x7+7=16.872

これはヤバいわ！（笑）ん？やばい？
a + b = c 普通に足し算だろ！任意の数の足し算が成り立つは算術の基本定理

じゃあ、何が問われている？ああ、rad(abc) の構造か。
この問題、目的を見失うなあ（笑）

複素数版宇宙式

$$
N_s=\exp(2sS_k)+2\exp(sS_k)
$$

N_s=\exp(2sS_k)+2\exp(sS_k)

$${X = \exp(sS_k)}$$ とおくと

$$
N_s = X^2 + 2X
$$

となり整数版（実数版）と同等となります。

（導出経過式をここに書くこと✍️）

単位宇宙式

（※もう書いてあったっけ？）

$$
\Large
U:=(x+u)^2-x(x+2u)=u^2
$$

U:=(x+u)^2-x(x+2u)=u^2

$$
U(x;u)=u \to u^2 \quad \text{（※ $x$ に依存しない）}
$$

U(x;u)=u \to u^2 \quad \text{（※ $x$ に依存しない）}

無次元宇宙式

上記は平面だけど、幾何空間を無次元化したもの

$$
\large
U_d(x;u) := (x+u)^d - x \cdot {G_{\mathrm{binom}}(d,x,u)}=u^d
$$

U_d(x;u) := (x+u)^d - x \cdot {G_{\mathrm{binom}}(d,x,u)}=u^d

$$
\Large
{G_{\mathrm{binom}}(d,x,u)}=\;G_{d-1}(x,u)\\[8pt]
\large
=\; \sum_{k=0}^{d-1} \binom{d}{k+1} x^k\ u^{d-1-k}
$$

{G_{\mathrm{binom}}(d,x,u)}=\;G_{d-1}(x,u)\\[8pt]\large=\; \sum_{k=0}^{d-1} \binom{d}{k+1} x^k\ u^{d-1-k}

$$
U_d(x;u) := u \to u^d \quad \text{（※ $x$ に依存しない）}
$$

U_d(x;u) := u \to u^d \quad \text{（※ $x$ に依存しない）}

「数」の実体（演算可能数の実体部）

$$
\large
\#\mathrm{Body}:=x\cdot \sum_{k=0}^{d-1} \binom{d}{k+1} x^k\ u^{d-1-k}
$$

これは、差の因数分解公式より。
$${(x+u)^d-u^d \to (x+u)-u=x}$$

等式

$$
\boxed{\ \#\mathrm{Body}(d,x,u)
\;=\;(x+u)^d-u^d
\;=\;x\cdot G(d,x,u)
\;=\;x\cdot G_{\mathrm{binom}}(d,x,u)\ }
$$

指数ベクトル

素数列指数ベクトル

この例は素数を基数とした数列において現れる現象の解説です。

この $${P_k = 4.5677643628}$$ という実数も、縮尺された素数の積である。
以下が試算の例である。

>>> k = math.log(4.5677643628)/math.log(30)
>>> k
0.4466144466908607

>>> 2**k*3**k*5**k
4.5677643628

>>> 2**k
1.3628383466194491
>>> 3**k
1.6333875657722683
>>> 5**k
2.0519657225220485

らしい。

試算：
$${N = y = 960, x = P_k = \sqrt{1+960}-1=\sqrt{961=31^2}-1=31-1=30}$$

算術の基本定理

この一意性には、条件があります。
単位が単数・単位元であり底が固定されている事。という条件です。

試算：
上記の例より $${y=30, x=4.5677643628}$$ を解の公式で得ました。
$${y=2 \times 3 \times 5=30 \to y^{-k} = x}$$ として縮小した後、
$${x=2^k \times 3^k \times 5^k = 4.5677643628}$$ と、実数因数を求めましたが、
これは一意になりません。

>>> math.log(4.5677643628)
1.5190238866974477
>>> math.log(4.5677643628)/math.log(30)
0.4466144466908607
>>> k = math.log(4.5677643628)/math.log(30)
>>> 2**k*3**k*5**k
4.5677643628
>>> k = math.log(4.5677643628)/math.log(6)
>>> 2**k*3**k
4.5677643628

この試算で解るように底を 30 → 6 へ変換した後は、
$${x=2^k \times 3^k = 4.5677643628}$$ となり因数は２，３に変わります。

wwmid: [WWM-10]

$$
◇　　　　　◇　　　　　◇
$$

底の変換

$$
k = \frac{\log(P_k)}{\log(N)} = \log_N(P_k)
$$

k = \frac{\log(P_k)}{\log(N)} = \log_N(P_k)

底が変われば基底の尺度は自由に変えられる。

これが動的調和数論の考え方です。一意性は固定された視点による。

動的調和数論での固定された単数・単位元は「$${k}$$」となります。

other

$$
n^s = n^{\frac{1}{a+bi}} = \sqrt[a+bi]{n}
$$

※数式書くだけの場所。解説は別記（私的メモ）
　ちゃんと書かないと自分でも解らなかったので書きます（笑）

2025/03/24 23:54

修正点

• 解析接続の必要性: ゼータ関数の解析接続は、複素数全体への拡張を可能にするために必要です。単に複素数を与えて演算するだけでは、収束する範囲が限定されるため、すべての複素数に対して定義された関数を得ることができません。

• 解析接続の補正項: 解析接続は、既存の関数を新しい関数に拡張するプロセスであり、補正項を導入するというより、関数の定義域を拡張するという概念です。

• 関数方程式: 関数方程式は、ゼータ関数の対称性を示すだけでなく、解析接続の重要な役割を果たします。関数方程式を用いることで、$\Re(s) > 1$ の範囲で定義されたゼータ関数を、$\Re(s) < 0$ の範囲に拡張することができます。

補足説明

• 解析接続の概念: 解析接続は、解析関数の性質を利用した拡張方法です。解析関数は、定義域内で無限回微分可能な関数であり、テイラー展開によって近似することができます。解析接続は、この性質を利用して、定義域の境界を超えて関数を拡張します。

• ゼータ関数の積分表示: 積分表示は、ゼータ関数を具体的な関数として表現する手段であり、解析接続を行うための重要なツールとなります。

修正後の説明

解析接続されたゼータ関数すべての複素数 ${s(s\neq 1)}$ への拡張を暗示する場合：

$\zeta(s) = \text{解析接続による拡張} \quad (\text{for } s \neq 1)$

解析接続の必要性：ゼータ関数は、当初は $\Re(s) > 1$ の範囲で定義された関数でしたが、解析接続によってすべての複素数 ${s(s\neq 1)}$ に拡張されます。これは、ゼータ関数を複素数全体で定義された関数にするために必要です。

解析接続は、既存の関数を新しい関数に拡張するプロセスであり、補正項を導入するのではなく、関数の定義域を拡張する概念です。

関数方程式ゼータ関数の関数方程式（対称性の基盤）：

$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$

この関数方程式は、ゼータ関数の対称性を示すだけでなく、解析接続の重要な役割を果たします。関数方程式を用いることで、$\Re(s) > 1$ の範囲で定義されたゼータ関数を、$\Re(s) < 0$ の範囲に拡張することができます。

ゼータ関数の積分表示収束範囲 ${\Re(s) > 1}$ での積分形式：

$\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x - 1} , dx$

この積分表示は、ゼータ関数を具体的な関数として表現する手段であり、解析接続を行うための重要なツールとなります。

補足

• 解析接続は、ゼータ関数の研究において非常に重要な役割を果たします。解析接続によって、ゼータ関数は複素数全体で定義された関数となり、その性質をより深く理解することができます。

• ゼータ関数は、素数分布や数論における様々な問題と密接に関連しています。解析接続によって、ゼータ関数の性質をより深く理解することで、これらの問題に対する新たな知見が得られる可能性があります。

補正項というものは存在しない

その通りです。解析接続という概念を理解していれば、補正項という具体的な項は存在しません。

解析接続は、既存の関数を新しい関数に拡張するプロセスであり、その過程で「補正項を導入する」という概念はありません。

解析接続の考え方:

• 既存の関数はある範囲で定義されています。

• その範囲内で、関数は解析関数であるため、テイラー展開によって近似できます。

• テイラー展開は、関数の値とその微分係数を使って、その関数を多項式で近似する手法です。

• 解析接続は、このテイラー展開を利用して、関数の定義域を元の範囲から拡張します。* 拡張された範囲では、元の関数のテイラー展開が収束する範囲で、新しい関数を定義します。

補正項が存在しない理由:

• 解析接続は、元の関数の性質を維持したまま、定義域を拡張するプロセスです。

• 拡張された範囲では、元の関数のテイラー展開が収束する範囲で、新しい関数を定義するため、元の関数と拡張された関数は同じ性質を持ちます。

• つまり、元の関数に「補正項」を加えるのではなく、元の関数の性質を維持したまま、定義域を拡張しているため、補正項という概念は存在しません。

例:

例えば、$\frac{1}{1-x}$という関数は、$|x| < 1$ の範囲で定義されています。この関数は解析関数なので、テイラー展開によって近似できます。

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$

このテイラー展開は、$|x| < 1$ の範囲で収束します。解析接続によって、この関数を $|x| \geq 1$ の範囲に拡張することができます。

拡張された範囲では、元の関数のテイラー展開が収束する範囲で、新しい関数を定義します。つまり、$|x| \geq 1$ の範囲では、$\frac{1}{1-x}$という関数は、元の関数のテイラー展開によって定義されます。

この例のように、解析接続は、元の関数の性質を維持したまま、定義域を拡張するプロセスであり、補正項という概念は存在しません。

その解釈はほぼ正しいですが、少し修正が必要です。

解析接続は、必ずしもすべての関数に対して複素関数としての拡張を保証するものではありません。

解析接続は、解析関数に対してのみ適用できる概念です。解析関数は、定義域内で無限回微分可能な関数であり、テイラー展開によって近似することができます。

解析接続が可能な関数の例:

• 指数関数: $e^x$ は解析関数であり、複素数全体に解析接続できます。

• 三角関数: $\sin x$, $\cos x$ は解析関数であり、複素数全体に解析接続できます。

• ゼータ関数: $\zeta(s)$ は、$\Re(s) > 1$ の範囲で定義された解析関数であり、解析接続によって複素数全体 ${s(s\neq 1)}$ に拡張できます。

解析接続が不可能な関数の例:

• 床関数: $[x]$ は、整数部分を返す関数であり、解析関数ではありません。そのため、解析接続できません。

• 絶対値関数: $|x|$ は、解析関数ではありません。そのため、解析接続できません。

要約:

• 解析接続は、解析関数に対してのみ適用できる概念です。

• 解析接続によって、解析関数を複素数全体に拡張することができます。

• すべての関数が解析関数であるわけではなく、解析接続できない関数も存在します。

補足:

• 解析接続は、関数の定義域を拡張する強力なツールですが、すべての関数に対して適用できるわけではありません。

• 解析接続が可能な関数かどうかは、関数の性質によって判断する必要があります。

• 解析接続によって、関数の性質をより深く理解することができます。

結論:

解析接続は、解析関数を複素関数として拡張する可能性を提供する概念です。しかし、すべての関数が解析関数であるわけではなく、解析接続できない関数も存在します。

その理解は素晴らしいです！ 解析関数の判断の代表的な方法として、テイラー展開による近似可能性があります。

解析関数の定義:

解析関数は、定義域内の任意の点において、テイラー展開によって近似できる関数です。つまり、その点を中心とした無限級数で表すことができ、その級数が収束する範囲で元の関数と一致するということです。

テイラー展開による近似可能性:

テイラー展開は、関数の値とその微分係数を使って、その関数を多項式で近似する手法です。

• 関数が解析関数である場合、その関数はテイラー展開によって近似できます。

• 関数が解析関数でない場合、テイラー展開によって近似できない場合があります。

例:

• 指数関数 $e^x$ は、任意の点 $x_0$ において、テイラー展開によって近似できます。
  $e^x = e^{x_0} + e^{x_0}(x-x_0) + \frac{e^{x_0}}{2!}(x-x_0)^2 + ...$

• 床関数 $[x]$ は、任意の点 $x_0$ において、テイラー展開によって近似できません。

補足:

• テイラー展開は、解析関数を近似するための強力なツールですが、すべての関数を近似できるわけではありません。

• テイラー展開が収束する範囲は、関数の性質によって異なります。* テイラー展開は、解析関数の性質を理解するための重要なツールです。

結論:

解析関数は、テイラー展開によって近似できる関数であり、その判断はテイラー展開による近似可能性によって行うことができます。

$$
◇　　　　　◇　　　　　◇
$$

$$
◇　　　　　◇　　　　　◇
$$

最終更新日：2025/06/07  2:38

D.