数学 作問3(整数(特に素数))

　どうも。あおうしです。今回はある数学的に有名な未解決問題から着想を得た問題です。難易度はさほど高くないと思いますが個人的にかなり面白い問題だと思いますので是非解いてみてください。
　では、どうぞ！

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解答

難易度:★★☆☆☆
解答時間：20分程度

　いかがだったでしょうか。この問題は双子素数について思いを馳せているときに思いついた問題です。そもそもで双子素数はご存じでしょうか。前提として素数とは、正の約数として１とその数自身しか持たないような正の整数から１を除いたものを指しますが、素数が２つ連続しているものを双子素数といいます。連続しているといっても素数とそれ＋１が素数であるのは(2,3)の1ペアだけですので(3,5)のように素数に対してそれ＋２が素数であるもののペアを双子素数と呼んでいるわけです。

　さて、(2)で見たように素数は無限に存在していることは知られていますが(素数 無限個 証明などで検索してみてください。)双子素数が無限個存在するかは未解決問題になっています。(無限個あるだろうと予想されているし、そのほうが直感には則している気がします。)
　今回の問題は双子素数ではない連続する素数のペアが無限個あることを示そうというものでした。例えば(13,15)のようなペアのことです。これを思いついて証明してみたもののこのことについて書いている記事等が一切なくとても驚いた記憶があります。
　
　ここで、もしかしたらこんなことを考える人がいるかもしれません。
「素数のペアが無限個存在して双子素数でないペアが無限個あるなら双子素数は有限個なんじゃね？？」
　実はそんなことないのが無限という概念の難しいところです。これについてはまた後日別記事で書いてみたいと思います。(雰囲気だけ書けば自然数の集合も整数の集合も元が無限個あってもその差である０と負の整数の和集合もまた元が無限個ありますね。無限と無限の差が有限ではない例の一つです。)
　もしよかったら過去の作問も見ていってください。

　今回はここまで。では、また。