【フラクタル解説】FNFE Project 用語集
FNFE Project 用語集へようこそ！
この記事では、FNFE Projectに登場する用語のうち、
・高校数学に登場しないもの
・高校数学に登場するが、定義が複雑で難しいもの
を中心に解説していきます。小説の最後にたまに註釈あるじゃないですか。あれと同じ感じです。
配列は五十音順となっています。また、その用語がどの記事で使われているかも表示します。こういう感じのレイアウトです。
なんとかこうとか #a, b, c, d
（深く関わりがある時はここに記事リンク）
ここに説明をめっちゃ書く。
それでは！
（逐次追加します！！！！！）
あ行・か行
アフィン変換 #2, 3, 8, 9, 14, 20
行列式と座標の変数x, yを用いて表現される、図形の変換。線形移動・拡大・縮小・回転・反転・剪断やその組み合わせが該当する。
L-system #3, 4, 5, 19, 20
文字列を一定の規則で変換し、その文字列を図形に変換する。
例えば、「F→F+F-」「Fは前進、+-でそれぞれ左右に90°回転」という規則であれば、
F
F+F-
F+F-+F+F--
と変化していき、その後規則に従い描画すると以下のような図形が現れる。
カオスゲーム #8, 20
フラクタルを描画する方法のひとつ。二通り意味があり、
・多角形の頂点をランダムに選び、その頂点と点Pとを結ぶ線分のどこかを選ぶもの
・複数のx,yを移動させる関数をランダムな順番で適用していくもの
のどちらかを指す。
吸引的 #12, 18, 19
漸化式や力学系において、xₙの周囲の点がxₙと似たような軌道を取ること。
行列 #8, 14, 20
数を長方形状に並べたもの。縦の並びを列といい、横の並びを行という。行列の各数を成分と呼び、行がn個、列がm個ある行列をn行m列の行列（あるいはn×m行列）と言う。以下のような演算をする。
・行列の足し引き
行列aのn列目、m行目の成分をaₙₘとすると、行列aとbを足したcの各成分はcₙₘ=aₙₘ+bₙₘ、行列aからbを引いたcの各成分はcₙₘ=aₙₘ-bₙₘと表記される。
行数・列数が同じ行列同士に対してのみ定義される。
・行列の乗算
行列aの列数と、行列bの行数が等しい場合のみ定義される。
m×n行列aとn×q行列bの積のi行目、j列目の成分をcᵢⱼとすると、以下のようになる。
空間充填曲線 #5, 9, 14
一定の範囲内のn次元空間全体を通り、無限の長さを持つ曲線。
クモの巣図法 #12, 18
漸化式xₙ₊₁=f(xₙ)のふるまいを図示する方法。
0≦x,y≦1の範囲にy=xのグラフ（gとする）とy=f(x)のグラフ（fとする）を書き入れ、
③ x=x₀の点からfに突き当たるまで垂直に線を引く。
④ その点からgに突き当たるまで水平に線を引く。
⑤ その点からfに突き当たるまで垂直に線を引く。
⑥ 後は④⑤の繰り返し。
という手順を繰り返すことで、(x₁, x₀)、(x₁, x₁)、(x₂, x₁)、(x₂, x₂)、(x₃, x₂)、(x₃, x₃)、、、という点に突き当たっていく。
さ行・た行・な行
周期点 #12, 18
xₙ₊ₖ=xₙとなる点。このようにxₙが一定のサイクルで変化する軌道を周期軌道といい、kを周期軌道の周期と呼ぶ。
充填ジュリア集合 #7, (11, 13,) 17, 18
関数f(zₙ)の反復zₙ₊₁=f(zₙ)が無限大に発散しないzₙの集合。
ジュリア集合 #7, 11, 13, 17, 18
平たく言えば、充填ジュリア集合の境界。
もう少し詳しく言えば、z₀の値を少しでもずらすと周囲の点と異なる挙動をする点の集合。
ニュートンフラクタル #16, 17, 18, 19
方程式f(x)=0の解は、$${x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$$という漸化式の不動点になる。この時、xₙがどの解に収束するかはx₀による。
x₀がどの解に収束するのかで複素平面を塗り分けたものがニュートンフラクタルである。
は・ま行
ハウスドルフ次元 #9, 10, 12, 19, 22
フラクタル次元のひとつ。
図形Sをすっぽり覆い、各図形の直径が実数δを上回らない図形の集合（δ被覆）を考え、正の実数rに対しδ被覆に属するそれぞれの集合の直径のr乗の総和$${H_δ^r(S)}$$を取る。
$${H_δ^r(S)}$$のδ→0の極限$${H^r(S)}$$が0にも∞にもならないrが、Sのハウスドルフ次元となる。
反発的 #12, 18
漸化式や力学系において、xₙの周囲の点がxₙと似たような軌道を取らず、どんどん離れていくこと。
反復関数系 #2, 3, 8
アフィン変換を適用した図形を複数重ねて、それを反復すること。
このような手順を踏んで作られたフラクタルを反復関数系に属するフラクタルと言う。
複素数 #7, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21
二乗すると-1になる空想上の数iを考えたとき、a+bi（a,bは実数）の形で表される数。
演算は以下のように表現される。
不動点 #12, 14, 18, 19
ある漸化式で、xₙ₊₁=xₙとなる点。
フラクタル #全部？
大まかに言えば、拡大しても詳細さが失われず、どこまで拡大しても滑らかにならない図形。
フラクタル次元 #2, 5, 9, 10, 12, 15, 19, 22
一般的な次元の考え方を、フラクタルでも適用できるように改良したもの。
マンデルブロ集合 #7, 9, 11, 13, 17, 18, 19, 20, 21
・zₙ₊₁=zₙ²+c
・z₀=0
が発散しないcの集合。
や・ら・わ行
力学系 #12, 18
一定の規則や式に従って状態が変化していくシステム。
臨界点 #18, 19
微分係数が0になる点。
ロジスティック写像 #12, 13, 18, 19, 23
xₙ₊₁=axₙ(1-xₙ) ※0≦x₀≦1、0≦a≦4 という漸化式。
aを大きくしていくと、吸引的サイクルが不動点・周期点・カオスと予測不可能に変化していく。
