統計検定2級解説講座　第2回：標準化・変動係数・時系列データの処理

◆ このテーマが2級で問われる理由

第1回では、1つのデータ群の「中心」と「散らばり」を捉える指標を学びました。今回はその応用編です。単位や平均が違うデータどうしを比較する方法、そして時間の流れを持つデータ特有の処理を扱います。地味に見えて、実務でもそのまま使える内容です

◆ 標準化：単位の違うデータを比較できるようにする

なぜ必要か ？：たとえば「英語のテスト（平均60点、標準偏差10点）で80点を取った」のと「数学のテスト（平均70点、標準偏差20点）で85点を取った」のでは、どちらが「相対的によくできた」と言えるでしょうか。点数の単純比較ではわかりません。ここで使うのが標準化です。

計算方法： 標準化した値（z得点）は、次の式で求めます。
z ＝ (x − x̄) ／ s （xは個々のデータ、x̄は平均、sは標準偏差）

平均からどれだけ標準偏差何個分離れているかを表す値になり、単位のない（無次元の）数値になります。標準化したデータは、平均0・標準偏差1という共通の物差しに揃うため、異なる試験・異なる集団のデータどうしでも比較できるようになります。

先ほどの例で計算すると、英語は z＝(80−60)／10＝2.0、数学は z＝(85−70)／20＝0.75。英語の80点の方が、集団の中では相対的に高い位置にあったとわかります。

【身近な例：偏差値】
模試などで見る「偏差値」は、このz得点を10倍して50を足したものです（偏差値＝10z＋50）。z＝0（ちょうど平均）のとき偏差値がぴったり50になるように設計されています。先ほどの英語の例（z＝2.0）なら偏差値70、数学の例（z＝0.75）なら偏差値57.5です。標準化という考え方は、実は身近なところですでに使われています。

◆ 変動係数：平均の異なるデータの「ばらつきやすさ」を比較する

標準化が「個々のデータの位置」を比較する道具だったのに対し、変動係数は「データ全体のばらつきの大きさ」を、平均の異なる集団どうしで比較するための指標です。

計算方法 ：
変動係数（CV）＝標準偏差 ／ 平均値
で表すこともあります。

たとえば、あるクラスの身長（平均160cm、標準偏差5cm）と体重（平均50kg、標準偏差8kg）では、そのまま標準偏差の大きさ（5と8）を比べても意味がありません。単位も基準となる平均の大きさも違うためです。変動係数にすると、身長はCV＝5／160≈0.031（3.1%）、体重はCV＝8／50＝0.16（16%）となり、体重の方が相対的にばらつきが大きいと比較できます。

【注意点】 変動係数は平均値で割るため、平均が0に近い、またはマイナスの値を取りうるデータには使えません（気温（摂氏）のように0が「何もない」ことを意味しないデータが典型例です）。身長・体重・金額のように、0が「何もない」ことを意味する比率尺度のデータで使う指標だと覚えておいてください。

◆ 時系列データの処理

移動平均 ：毎月の売上のように時間とともに変化するデータは、短期的な変動（ノイズ）に埋もれて全体の傾向（トレンド）が見えにくいことがあります。これを見やすくする代表的な方法が移動平均です。一定の期間（たとえば3か月）ごとにデータを区切り、その区間の平均を順にずらしながら計算していくことで、短期的な増減をならして全体の流れを見やすくします。

成長率と幾何平均 ：ある量が期間ごとに何倍になったかを表すのが成長率です。成長率は「前の期に対する比率」で決まるため、複数期間の平均的な成長率を求めるときは、通常の算術平均ではなく幾何平均を使います。

たとえば売上が1年目に1.5倍、2年目に2倍になったとします。2年間の平均成長率は(1.5＋2)／2＝1.75倍ではありません。実際の2年間の成長は1.5×2＝3倍なので、これを2年間均等に割った平均成長率gは g²＝3 を満たす必要があり、g＝√3≈1.73倍が正しい平均です。掛け算的に増えていく量は、足し算的な平均（算術平均）ではなく、掛け算的な平均（幾何平均）で扱う、という原則を覚えておいてください。

◆ 具体例で確認

ある店の月間売上（万円）が、4月100、5月120、6月140、7月110、8月160だったとします。

3か月移動平均
・4〜6月の平均：(100＋120＋140)／3＝120万円
・5〜7月の平均：(120＋140＋110)／3≈123.3万円
・6〜8月の平均：(140＋110＋160)／3≈136.7万円

月ごとの売上は上下していますが、移動平均を見ると120→123.3→136.7と、ゆるやかな増加傾向にあることが読み取れます。

◆ 今回の要点

・標準化（z得点）は、平均・標準偏差が異なる集団のデータを、共通の物差しで比較できるようにする。偏差値もこの考え方の応用
・変動係数は、平均の異なる集団の「ばらつきやすさ」を比較する指標で、比率尺度のデータにのみ使える
・時系列データは移動平均で短期的な変動をならし、複数期間の平均成長率は算術平均ではなく幾何平均で求める

◆ 次回予告

第3回では、2変数データの整理として、散布図と相関係数を扱います。