【衝撃】23人いれば同じ誕生日ペアがいる確率50%超える件【時空BBS：数学板】
1：名無しの数学好き
スレタイ通り。
23人の集団に、同じ誕生日の人が少なくとも1組いる確率は約50.7%。
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2：名無しの数学好き
嘘だろ
365日あるのに23人で50%ってどういうこと
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3：名無しの数学好き
＞＞2
直感が「23人 vs 365日」で計算してるからそう感じる。
でも問題は「特定の日に誰かがいるか」じゃなくて、
「23人の中の誰かと誰かが一致するか」。
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4：名無しの数学好き
？？？
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5：名無しの数学好き
23人から2人を選ぶ組み合わせは253通りある。
253回「一致するか」のチェックが走ると思えば、
50%がそこまで不思議じゃなくなるだろ。
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6：名無しの数学好き
あ、なるほど。
「自分と同じ誕生日の人がいるか」じゃなくて
「全員の中で誰か被るか」なのか。
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7：名無しの数学好き
それな。
みんな「自分と同じ」で考えるから直感がバグる。
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8：名無しの数学好き
計算式見せてくれ
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9：名無しの数学好き
＞＞8
「誰も被らない確率」を出して、1から引く方が楽。
1人目：どの日でもOK → 365/365
2人目：1人目と被らない → 364/365
3人目：2人とも被らない → 363/365
...
23人目：22人と被らない → 343/365
全部掛ける → 約0.493
つまり「誰も被らない確率」が約49.3%。
裏返すと「誰か被る確率」が約50.7%。
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10：名無しの数学好き
うわ、本当だ
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11：名無しの数学好き
じゃあ30人だとどうなる？
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12：名無しの数学好き
＞＞11
約70%。
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13：名無しの数学好き
40人は？
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14：名無しの数学好き
約89%。
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15：名無しの数学好き
50人だと97%。
学校の1クラスで被らない方がレア。
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16：名無しの数学好き
マジかよ。
中学の時「同じ誕生日の人いる！」って盛り上がった記憶あるけど、
あれ普通に起こることだったのか。
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17：名無しの数学好き
完全にド普通のこと。
むしろ40人クラスで被りゼロの方が確率11%の珍事。
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【混乱】じゃあ「自分と同じ」は？
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18：名無しの数学好き
ここで質問。
「23人の中に、【自分と】同じ誕生日の人がいる確率」は？
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19：名無しの数学好き
それは全然違う。
自分以外の22人が特定の1日に当たるかどうかだから。
1 -（364/365）^22 = 約5.9%。
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20：名無しの数学好き
6%！？
さっきの50%と全然違うじゃん
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21：名無しの数学好き
それが誕生日のパラドックスの核心。
「自分と誰か」だとペアは22通りしかない。
「誰かと誰か」だとペアは253通りある。
組み合わせ数が11倍以上違う。
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22：名無しの数学好き
人間の脳、「自分」を中心に考えすぎ問題
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23：名無しの数学好き
＞＞22
進化的にはそれが正しかったんだろうけどな。
確率計算では罠になる。
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24：名無しの数学好き
ちなみに「自分と同じ誕生日の人がいる確率」を50%にしたいなら、
何人必要？
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25：名無しの数学好き
253人。
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26：名無しの数学好き
23人と253人。
「誰かと誰か」と「自分と誰か」でこんなに差が出る。
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27：名無しの数学好き
これもう数学というより認知バイアスの話だろ
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【脱線】モンティ・ホール問題に突入
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28：名無しの数学好き
直感と確率がバグる話といえば、
モンティ・ホール問題も避けて通れない
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29：名無しの数学好き
出たな
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30：名無しの数学好き
知らない人向けに説明する。
3つのドアがある。1つに当たり（車）、2つにハズレ（ヤギ）。
①あなたが1つ選ぶ。
②司会者が、残り2つのうちハズレのドアを1つ開ける。
③「選び直していいですよ」と言われる。
変えるべきか、変えないべきか。
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31：名無しの数学好き
変えなくていいだろ。
2つから1つ選ぶんだから確率は1/2。
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32：名無しの数学好き
＞＞31
はい、間違い。
変えた方がいい。変えると当たる確率は2/3。
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33：名無しの数学好き
は？？？
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34：名無しの数学好き
最初に選んだドアが当たりの確率 → 1/3
最初に選んだドアがハズレの確率 → 2/3
司会者がハズレを1つ開けても、最初の選択の確率は変わらない。
つまり「残りのドア」にハズレの確率2/3が集中する。
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35：名無しの数学好き
いやいやいや。
2つから選ぶんだから1/2だろ常識的に考えて
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36：名無しの数学好き
＞＞35
その「常識」が間違ってるって話をしてる。
もっとわかりやすくする。
ドアが100個あったとしよう。1個が当たり。
①あなたが1つ選ぶ（当たる確率1/100）。
②司会者がハズレのドアを98個開ける。
③残りは「あなたが選んだドア」と「もう1つ」。
変える？
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37：名無しの数学好き
……変える。めちゃくちゃ変える。
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38：名無しの数学好き
＞＞37
それが3つのドアでも同じロジック。
司会者が「情報を持った上で」ハズレを開けてるのが鍵。
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39：名無しの数学好き
あーーーーーーー。
「司会者がランダムに開けた」なら1/2だけど、
「必ずハズレを開ける」から確率が移るのか。
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40：名無しの数学好き
＞＞39
正解。この問題、数学者のエルデシュすら最初は間違えた。
正解を示したのがマリリン・ヴォス・サヴァント。
世界最高IQ記録保持者のコラムニスト。
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41：名無しの数学好き
で、「そんなわけない」って数学者や博士号持ちから
1万通の抗議の手紙が来た。
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42：名無しの数学好き
1万通www
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43：名無しの数学好き
しかもその大半が「あなたが女性だから間違えるのだ」的な内容。
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44：名無しの数学好き
最悪
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45：名無しの数学好き
結局シミュレーションで確かめたら2/3で決着。
数学者たちが謝罪する事態に。
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46：名無しの数学好き
確率、人間の直感を壊しにくるジャンルすぎる
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【着地】直感は嘘をつく、計算は嘘をつかない
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47：名無しの数学好き
今日のまとめ。
誕生日のパラドックス → 「自分中心」で考えるから直感がバグる
モンティ・ホール問題 → 「確率が更新される」ことを脳が処理できない
どっちも「人間の直感は確率を正しく扱えない」って話。
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48：名無しの数学好き
進化の過程で「正確な確率計算」が必要な場面、なかったんだろうな。
サバンナで「あの茂みにライオンがいる確率」とか計算してたら食われる。
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49：名無しの数学好き
＞＞48
だから人間は「低確率でも致命的なリスクは過大評価」
「高確率でも実感がないリスクは過小評価」するように
プログラムされてる。
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50：名無しの数学好き
飛行機事故は怖がるのに生活習慣病は放置するやつ
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51：名無しの数学好き
それ俺だ
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52：名無しの数学好き
でもこのスレ読んで思ったのは、
直感が間違ってること自体は問題じゃないんだよな。
「直感が間違ってるかもしれない」と知ってることが大事。
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53：名無しの数学好き
＞＞52
いいこと言うじゃん。
それを知ってるだけで、宝くじの買い方とか保険の選び方とか変わる。
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54：名無しの数学好き
確率を学ぶ最大のメリット、
「わかってないことがわかる」になれること。
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55：名無しの数学好き
ところで今日のスレ、ちょうど23人で同じIDのペアいない？
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56：名無しの数学好き
＞＞55
全員「名無しの数学好き」だから全員被ってるぞ
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57：名無しの数学好き
そういう話じゃない
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【数学メモ】元ネタ解説
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■ 誕生日のパラドックス（Birthday Paradox）
厳密にはパラドックス（論理矛盾）ではなく、「直感に反する」という意味でパラドックスと呼ばれる。1939年にリチャード・フォン・ミーゼスが提示した問題。23人で約50.7%、50人で約97%、70人で約99.9%。
■ 計算の仕組み
「全員が異なる誕生日である確率」を求め、1から引く。n人いる時の式：
1 - (365/365) × (364/365) × (363/365) × ... × ((365-n+1)/365)
これは「組み合わせの数がn(n-1)/2で増える」ことが鍵。23人なら253組。
■ 「自分と同じ」との違い
「特定の1人と同じ誕生日の人がいるか」は、n-1人がその特定の日に当たるかの問題。確率は1-(364/365)^(n-1)。50%を超えるには253人必要。23人 vs 253人という差が、この問題の直感的な難しさを端的に示している。
■ モンティ・ホール問題
アメリカのテレビ番組「Let's Make a Deal」の司会者モンティ・ホールにちなむ。1990年にマリリン・ヴォス・サヴァントが自身のコラム「Ask Marilyn」で正解（変えるべき）を示したところ、約1万通の抗議が寄せられた。抗議者の中には大学教授や博士号保持者も多数含まれていた。
■ なぜ人間は確率を間違えるのか
認知心理学では「代表性ヒューリスティック」「利用可能性ヒューリスティック」などが知られる。人間の脳は統計的に正しい判断をするようには進化しておらず、「素早くそれらしい判断をする」ことに最適化されている。ダニエル・カーネマンの「ファスト＆スロー」が詳しい。
■ エルデシュとモンティ・ホール
ハンガリーの数学者ポール・エルデシュ（20世紀最多の共著論文数を持つ伝説的数学者）は、モンティ・ホール問題の正解を最初は受け入れなかった。コンピュータシミュレーションの結果を見て初めて納得したとされる。
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