中学でも分かる➈「合成関数」

　合成関数については、中学でも分かる➅「ネイピア数 e」でもやりましたが、重要なテーマなので、改めてここで１つの記事にしました。ここでは
・合成関数
・合成関数の微分法
と話を進めていきます。
　中学でも分かる➅「ネイピア数 e」でやった内容とほぼ同じですが、より詳しく解説しています。
　また、本シリーズの過去の内容も多く出てくるので、その都度戻るか、最初から本シリーズを読んでおくことをお勧めします。前回までの記事が次の記事で出てくるような構成になっています。

　まずは、前回の中学でも分かる➅「ネイピア数 e」でやった、対数関数と指数関数の微分公式の復習です。

対数関数の微分公式（復習）

$$
\begin{alignat*}{2}
1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log_e a}\\[8pt]
2.& & (\log_e x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
3.& & (\log_e |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
4.& & (\log_e f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt]
5.& & (\log_e |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{alignat*}
$$

　なお、数学では下記のように $${\log_e x}$$ を $${\log x}$$ と、底 $${e}$$ 省略して表記することが多いです。今後、底 $${e}$$ は省略されることが多くなります。

$$
\begin{alignat*}{2}
1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log a}\\[8pt]
2.& & (\log x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
3.& & (\log |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
4.& & (\log f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt]
5.& & (\log |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{alignat*}
$$

指数関数の微分公式（復習）

$$
\begin{align*}
1.     (a^x)'&=a^x\log_e a\\
2.     (e^x)'&=e^x
\end{align*}
$$

　底 $${e}$$ を省略して 1. は次のように表せます。

$$
\begin{align*}
1.     (a^x)'=a^x\log a
\end{align*}
$$

合成関数について

　$${y=(2x+3)^3}$$ という関数を考えます。この関数は、$${y=u^3}$$ と $${u=2x+3}$$ を合成した関数と考えることができます。

$$
\begin{align*}
y=(2x+3)^3  \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
y=u^3　\cdots(*1)\\
u=2x+3　\cdots(*2)
\end{cases}
\end{align*}
$$

　つまり、$${(*1)}$$ に $${(*2)}$$ を代入（合成）すれば $${y=(2x+3)^3}$$ という関数が得られます。このような関数を合成関数といいます。

　$${x}$$ が決まれば $${u}$$ が決まり、$${u}$$ が決まれば $${y}$$ が決まります。

改めて合成関数の定義を与えます。

＜合成関数の定義＞

　$${y}$$ が $${u}$$ の関数

$$
\begin{align*}
y=f(u)
\end{align*}
$$

で、$${u}$$ が $${x}$$ の関数

$$
\begin{align*}
u=g(x)
\end{align*}
$$

であるとき、これら２つの関数から、$${x}$$ に $${y}$$ を対応させる関数

$$
\begin{align*}
y=f(g(x))
\end{align*}
$$

がつくられる。この関数を $${y=f(u)}$$ と $${u=g(x)}$$ の合成関数という。

$$
\begin{align*}
y=f(g(x))  \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
y=f(u)\\
u=g(x)
\end{cases}
\end{align*}
$$

＊＊＊

　つまり、$${x}$$ が決まれば $${u}$$ が決まり、$${u}$$ が決まれば $${y}$$ が決まります。

　先ほどの関数 $${y=(2x+3)^3}$$ は、$${y=\underset{f(u)}{u^3}}$$ と $${u=\underset{g(x)}{2x+3}}$$ の合成関数と考えることができます。

$$
\begin{align*}
y=\underset{f(g(x))}{(2x+3)^3}  \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
y=\hspace{-1pt}\underset{f(u)}{u^3}　\cdots(*1)\\
u=\underset{g(x)}{2x+3}　\cdots(*2)
\end{cases}
\end{align*}
$$

（例１）
　$${y=(-3x+2)^5}$$ は、$${y=u^5}$$ と $${u=-3x+2}$$ の合成関数と考えることができます。

（例２）
　$${y=\sqrt{3x-5}}$$ は、$${y=\sqrt{u}}$$ と $${u=3x-5}$$ の合成関数と考えることができます。

（例３）
　$${y=e^{x^2-4}}$$ は、$${y=e^u}$$ と $${u=x^2-4}$$ の合成関数と考えることができます。

（例４）
　$${y=\log (-x)}$$ は、$${y=\log u}$$ と $${u=-x}$$ の合成関数と考えることができます。

（例５）
　$${y=\dfrac{1}{(x^3+1)^4}}$$ は、$${y=\dfrac{1}{u^4}}$$ と $${u=x^3+1}$$ の合成関数と考えることができます。

三角関数の合成関数

　三角関数についても合成関数を考えることができます。高校で習う三角関数は次の３つがあります。三角関数については、前回の中学でも分かる⑧「三角関数」もご覧ください。

$$
\begin{align*}
y&=\sin x\\
y&=\cos x\\
y&=\tan x
\end{align*}
$$

　三角関数について合成関数の例を上げましょう。

（例６）
　$${y=\sin(4x-3)}$$ は、$${y=\sin u}$$ と $${u=4x-3}$$ の合成関数と考えることができます。

（例７）
　$${y=\tan(2x^3-3x+2)}$$ は、$${y=\tan u}$$ と $${u=2x^3-3x+2}$$ の合成関数と考えることができます。

　ここから合成関数を微分することを解説していきます。合成関数の微分は、次の＜合成関数の微分法＞を用います。

合成関数の微分法

　$${y=f(u),   u=g(x)}$$ が微分可能であるとき

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}　\cdots(*3)
\end{align*}
$$

＊＊＊

　「$${y}$$ を $${x}$$ で微分した導関数」は、「$${y}$$ を $${u}$$ で微分した導関数」と「$${u}$$ を $${x}$$ で微分した導関数」の積と等しくなる、ということです。
　間に $${du}$$ がはさまれていることに注意してください。この $${du}$$ で形式的に約分することで、この等式が成り立つことはイメージできます。

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{\cancel{du}}\cdot\dfrac{\cancel{du}}{dx}
\end{align*}
$$

　このような関係を連鎖律（チェインルール）とよぶことがあります（証明は高校の教科書にもあるので、ここでは割愛します）。

　では合成関数の微分法 $${(*3)}$$ を用いて $${y=(2x+3)^3}$$ を微分しましょう。まず
　$${u=2x+3}$$ とおくと　$${y=u^3}$$
　ここで
　$${y=u^3}$$ は「$${u}$$ の関数」
　$${u=2x+3}$$ は「$${x}$$ の関数」
とみて、それぞれを微分します。
　$${y=u^3}$$ を $${u}$$ で微分すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}=(u^3)'=3u^{3-1}=3u^2　\cdots (*4)
\end{align*}
$$

　また、$${u=2x+3}$$ を $${x}$$ で微分すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{du}{dx}=(2x+3)'=2　\cdots (*5)
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法 $${(*3)}$$ に $${(*4)}$$、$${(*5)}$$ を代入して

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
=3u^2\cdot2
=6u^2
\end{align*}
$$

　$${u=2x+3}$$ だったので

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=6(2x+3)^2　\small{（答）}
\end{align*}
$$

となります。

合成関数の微分の例

　ここで、先ほどの関数（例１）～（例７）を微分しましょう。すべて合成関数なので＜合成関数の微分法＞を用います。

＜合成関数の微分法＞（再掲）

　$${y=f(u),   u=g(x)}$$ が微分可能であるとき

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
\end{align*}
$$

＊＊＊

（例１）
　$${y=(-3x+2)^5}$$ を $${x}$$ で微分しなさい。
　$${u=-3x+2}$$ とおくと　$${y=u^5}$$
　すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(u^5)'=5u^{5-1}=5u^4\\[6pt]
\dfrac{du}{dx}&=(-3x+2)'=-3
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=5u^4\cdot(-3)\\
&=-15u^4\\
&=-15(-3x+2)^4　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　なお、慣れて来たら

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{dy}{du}}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\underset{\tiny 中の微分}{\dfrac{du}{dx}}
\end{align*}
$$

と考えて、次のように置き換えないで微分することが可能です。

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\scriptsize 外の微分}{5(-3x+2)^{5-1}}\cdot\underset{\scriptsize 中の微分}{(-3x+2)'}\\
&=5(-3x+2)^4\cdot(-3)\\
&=-15(-3x+2)^4　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　$${-3x+2}$$ をカタマリで考えて（つまり頭の中で $${u}$$ に置き換えて）微分をし（外の微分）、それにカタマリにした $${-3x+2}$$ の微分（中の微分）をかけます。つまり
　（外の微分）$${\times}$$（中の微分）
の要領です。このコツを押さえれば、かなり複雑な式も機械的に微分できます。

（例２）
　$${y=\sqrt{3x-5}}$$ を $${x}$$ で微分しなさい。
　$${u=3x-5}$$ とおくと　$${y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}}$$
　すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(u^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\\[6pt]
\dfrac{du}{dx}&=(3x-5)'=3
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot3\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{u}}\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　置き換えないで微分すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{外の微分}{\frac{1}{2}{(3x-5)}^{\frac{1}{2}-1}}\cdot\underset{中の微分}{(3x-5)'}\\
&=\frac{1}{2}{(3x-5)}^{-\frac{1}{2}}\cdot3\\
&=\dfrac{1}{{2(3x-5)}^{\frac{1}{2}}}\cdot3\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

（例３）
　$${y=e^{x^2-4}}$$ を $${x}$$ で微分しなさい。
　$${u=x^2-4}$$ とおくと　$${y=e^u}$$
　すると、指数関数の微分公式 2. より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(e^u)'=e^u\\
\dfrac{du}{dx}&=(x^2-4)'=2x
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=e^u\cdot2x\\
&=2xe^u\\
&=2xe^{x^2-4}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　置き換えないで微分すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{e^{x^2-4}}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(x^2-4)'}\\
&=e^{x^2-4}\cdot2x\\
&=2xe^{x^2-4}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　$${e^u}$$ を $${u}$$ で微分しても変化しないので、「外の微分」は変化しないことに注意。

（例４）
　$${y=\log (-x)}$$ を微分しなさい。
　$${u=-x}$$ とおくと　$${y=\log u}$$
　すると、対数関数の微分公式 2. より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(\log u)'=\dfrac{1}{u}\\
\dfrac{du}{dx}&=(-x)'=-1
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=\dfrac{1}{u}\cdot(-1)\\
&=-\dfrac{1}{u}\\
&=-\dfrac{1}{-x}\\
&=\dfrac{1}{x}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　置き換えないで微分すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{1}{-x}}\hspace{-3pt}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(-x)'}\\[6pt]
&=-\dfrac{1}{x}\cdot(-1)\\[6pt]
&=\dfrac{1}{x}　\small{（答）}
\end{align*}
$$　

（例５）
　$${y=\dfrac{1}{(x^3+1)^4}}$$ を微分しなさい。
　$${u=x^3+1}$$ とおくと　$${y=\dfrac{1}{u^4}=u^{-4}}$$
　すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(u^{-4})'=-4u^{-4-1}=-4u^{-5}=-\dfrac{4}{u^5}\\
\dfrac{du}{dx}&=(x^3+1)'=3x^2
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=-\dfrac{4}{u^5}\cdot3x^2\\
&=-\dfrac{12x^2}{u^5}\\
&=-\dfrac{12x^2}{(x^3+1)^5}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　置き換えないで微分すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{-4(x^3+1)^{-4-1}}\hspace{-3pt}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(x^3+1)'}\\[6pt]
&=-4(x^3+1)^{-5}\hspace{-3pt}\cdot3x^2\\
&=-\dfrac{4}{(x^3+1)^5}\cdot3x^2\\[6pt]
&=-\dfrac{12x^2}{(x^2+1)^5}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

三角関数の合成関数の微分

　三角関数の合成関数（例６）、（例７）も微分しましょう。まずは三角関数の微分について、次の公式を用います。

＜三角関数の微分公式＞

$$
\begin{align*}
&1.     (\sin x)'=\cos x\\[4pt]
&2.     (\cos x)'=-\sin x\\
&3.     (\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x }
\end{align*}
$$

＊＊＊

（例６）
　$${\sin(4x-3)}$$ を微分しなさい。
　$${u=4x-3}$$ とおくと　$${y=\sin u}$$
　すると、三角関数の微分公式 1. より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(\sin u)'=\cos u\\
\dfrac{du}{dx}&=(4x-3)'=4
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=\cos u\cdot4\\
&=4\cos u\\
&=4\cos(4x-3)　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　置き換えないで微分すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{\cos(4x-3)}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(4x-3)'}\\[6pt]
&=\cos(4x-3)\cdot4\\[6pt]
&=4\cos(4x-3)　\small{（答）}
\end{align*}
$$

（例７）
　$${\tan(2x^3-3x+2)}$$ を微分しなさい。
　$${u=2x^3-3x+2}$$ とおくと　$${y=\tan u}$$
　すると、三角関数の微分公式 3. より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(\tan u)'=\dfrac{1}{\cos^2u}\\
\dfrac{du}{dx}&=(2x^3-3x+2)'=2\cdot3x^2-3=6x^2-3
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=\dfrac{1}{\cos^2u}\cdot(6x^2-3)\\[6pt]
&=\dfrac{6x^2-3}{\cos^2u}\\[6pt]
&=\dfrac{6x^2-3}{\cos^2(2x^3-3x+2)}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　置き換えないで微分すると

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{1}{\cos^2(2x^3-3x+2)}}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(2x^3-3x+2)'}\\[6pt]
&=\dfrac{1}{\cos^2(2x^3-3x+2)}\cdot(6x^2-3)\\[6pt]
&=\dfrac{6x^2-3}{\cos^2(2x^3-3x+2)}　\small{（答）}
\end{align*}
$$

３つの関数の合成関数

　３つの関数の合成関数を考えることもできます。次のように定義されます。

＜合成関数の定義（３つの関数）＞

　$${y}$$ が $${u}$$ の関数

$$
\begin{align*}
y=f(u)
\end{align*}
$$

で、$${u}$$ が $${v}$$ の関数

$$
\begin{align*}
u=g(v)
\end{align*}
$$

で、$${v}$$ が $${x}$$ の関数

$$
\begin{align*}
v=h(x)
\end{align*}
$$

であるとき、これら２つの関数から、$${x}$$ に $${y}$$ を対応させる関数

$$
\begin{align*}
y=f(g(h(x)))
\end{align*}
$$

がつくられる。この関数を $${y=f(u)}$$ と $${u=g(v)}$$ と $${v=h(x)}$$ の合成関数という。

$$
\begin{align*}
y=f(g(h(x)))  \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
y=f(u)\\
u=g(v)\\
v=h(x)
\end{cases}
\end{align*}
$$

＊＊＊

　つまり、$${x}$$ が決まれば $${v}$$ が決まり、$${v}$$ が決まれば $${u}$$ が決まり、$${u}$$ が決まれば $${y}$$ が決まります。

（例８）
　関数 $${y=e^{(2x-3)^6}}$$ は、$${y=e^u}$$ と $${u=v^6}$$ と $${v=2x-3}$$ の合成関数と考えることができます。

$$
\begin{align*}
y=\underset{f(g(h(x)))}{e^{(2x-3)^6}}  \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
y=\underset{f(u)}{e^u}\\
u=\underset{g(v)}{v^6}\\
v=\underset{h(x)}{2x-3}
\end{cases}
\end{align*}
$$

　３つの関数の合成関数の微分は、次の微分法を使います

＜合成関数の微分法（３つの関数）＞

　$${y=f(u),   u=g(v),   v=h(x)}$$ が微分可能であるとき

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dv}\cdot\dfrac{dv}{dx}　\cdots (*6)
\end{align*}
$$

＊＊＊

　文字が多く一見複雑に見えますが、連鎖率（チェインルール）に従っています。間に $${du}$$ と $${dv}$$ がはさまれていることに注意してください。この $${du}$$ と $${dv}$$ で形式的に約分することによって、この等式が成り立つことはイメージできます。

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{\cancel{du}}\cdot\dfrac{\cancel{du}}{\bcancel{dv}}\cdot\dfrac{\bcancel{dv}}{dx}
\end{align*}
$$

　では先ほどの（例８）を微分しましょう。

（例）
　関数 $${y=e^{(2x-3)^6}}$$ を $${x}$$ で微分しなさい。
　$${u=(2x-3)^6}$$ とおくと　$${y=e^u}$$
　$${v=2x-3}$$ とおくと　$${u=v^6}$$

　すると、指数関数の微分公式 2. より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(e^u)'=e^u\\[6pt]
\dfrac{du}{dv}&=(v^6)'=6v^{6-1}=6v^5\\[6pt]
\dfrac{dv}{dx}&=(2x-3)'=2
\end{align*}
$$

　合成関数の微分法より

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dv}\cdot\dfrac{dv}{dx}\\[6pt]
&=e^u\cdot6v^5\cdot2\\
&=12e^uv^5\\
&=12e^{(2x-3)^6}(2x-3)^5　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　慣れてきたら

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{dy}{du}}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{du}{dv}}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{dv}{dx}}
\end{align*}
$$

と考えて、次のように置き換えないで微分しましょう。外の微分が２回入ります。

$$
\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{e^{(2x-3)^6}}\cdot\underset{\tiny 外の微分}{6(2x-3)^{6-1}}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(2x-3)'}\\
\dfrac{dy}{dx}&=e^{(2x-3)^6}\cdot6(2x-3)^5\cdot2\\
&=12e^{(2x-3)^6}(2x-3)^5　\small{（答）}
\end{align*}
$$

　$${e^u}$$ は $${u}$$ で微分しても変化しないので、最初の「外の微分」は変化しないことに注意。

　連鎖率（チェインルール）を用いることによって４つの関数、５つの関数・・・と容易に拡張できます。どんなに複雑な合成関数でも、いくつかの関数に分割することによって微分することが可能です。

関数記号の歴史（おまけ）

　関数は英語で function といいますが、この function は機能や作用、働きという意味を表します。ドイツの数学者、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが、初めて数学の言葉としてこの function を用いました。

　スイスの数学者、レオンハルト・オイラーは、変数 $${x}$$ といくつかの定数とからできる式を「関数」と定義し、$${f(x)}$$ という記号で表しました。現代では一般的な $${y=f(x)}$$ という表現は、オイラーが初めてとなります（Wikipedia より）。

（了）