ルーターモード
この用語のポイント
ルータの動作モードだよ
普通にルータとして使うよ
「ブリッジモード（アクセスポイントモード）」じゃない方のモードだよ
簡単に書くよ
ルーターモード（英：router mode）とは
「ブリッジモード（ルータのルータとしての機能を無効にして使いますモード）」との対比で出てくる用語
であり
「ルータ
（ネットワークを中継する機械）を普通にルータとして使います」モードのこと
です。
詳しく書くよ
順番に見ていきましょう。
まずは予備知識として
・ルータ
・スイッチングハブ
・ブリッジモード
について簡単に説明します。
「そんなの説明されなくても知ってるよ！」な人は適当に読み飛ばしてください。
ルータは「ネットワーク中のデータ（の中にあるIPアドレス）を見て、行き先を振り分けてくれる機器」です。
今回は「ネットワークの中継役」くらいの理解で かまいません。
スイッチングハブは「ネットワーク中のデータ（の中にあるMACアドレス）を見て、行き先を振り分けてくれる機器」です。
今回は「LANケーブル用のテーブルタップ」くらいの理解で かまいません。
ブリッジモードは「ルータのルータとしての機能を無効にして使いますモード」です。
ルータとしての機能を無効にしたルータは、スイッチングハブ（無線LANルータの場合は無線LANアクセスポイント）と同じような動きをします。
言い方を変えると「ルータをスイッチングハブとして使いますモード」がブリッジモードです。
以上を踏まえて
「ルータを普通にルータとして使います」モード
が「ルーターモード」です。
ルータのルータとしての機能を有効にして使うモードです。
「ルーターモード」という用語は「ブリッジモード」（や「アクセスポイントモード」）との対比で登場します。
それぞれ
ルーターモード：ルータ機能を有効にして、ルータとして使うモード
ブリッジモード：ルータ機能を無効にして、スイッチングハブとして使うモード
です。
無線LANの場合は
ルーターモード：ルータ機能を有効にして、ルータとして使うモード
アクセスポイントモード：ルータ機能を無効にして、無線LANアクセスポイントとして使うモード
です。
気が向いたら全部まとめて覚えてあげてください。
一言でまとめるよ
まぁ「ルーターモード」って単語が出てきたら「普通にルータ（ネットワークを中継する機械）として使うモードなんだな～」と お考えください。
おまけ
■訳してみるよ
「router（ルーター）」は「route（ルート）」＋「er」です。
「route（ルート）」の意味は「道」とか「道筋」とか「経路」とかです。
「route」＋「er」で「道案内をするやつ」的な意味になります。
「mode（モード）」の意味は「方法」とか「方式」とか「形態」とかです。
何となく くっつけると
道案内をするやつ形態
となります。
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