偏差値
この用語のポイント
平均からどれくらい離れているか表す数字だよ
「（値－平均値）÷標準偏差×10＋50」で求められるよ
（正規分布になっている場合は）全体の中で自分がどれくらいの位置にいるか推測できるよ
簡単に書くよ
偏差値（読：ヘンサチ 英：standard score、deviation score、deviation value）とは
全体の中で自分がどれくらいの位置にいるか推測するときに使ったりする「その値は平均値から、どれくらい離れているの？」を表した数字
であり
「（値－平均値）÷標準偏差
（分散の（正の）平方根）×10＋50」の計算式で求められる値
です。
詳しく書くよ
別にIT用語というわけでも ないですけどね。
某・資格試験の過去問に出てきたので取り上げておきます。
まずはザックリと説明して、その後に細かく説明しますね。
サクっと一言で説明すると
平均からどれくらい離れているかを表している数字
が「偏差値」です。
テストの点数を例に説明しますが、自分の点数が平均点と同じだったら偏差値は「50」です。
平均点より高かったら「50」より大きくなります。
平均点より低かったら「50」より小さくなります。
平均点から離れれば離れるほど、偏差値の数字は大きく（小さく）なります。
（正規分布になっている場合は）偏差値を見ることで、自分が全体の中でどれくらいの位置にいるか何となく推測できます。
平均点から離れるほど人数が少なくなるので、例えば偏差値が「50」前後であれば「（今回テストを受けた人の中では）真ん中くらいか」と判断できますし、偏差値が「70」とかであれば「（今回テストを受けた人の中では）かなり上位にいるね」と判断できます。
以上がザックリとした説明です。
次に、もうちょっと細かく説明します。
ただし、ここから先は予備知識の説明が、いっぱい出てきます。
脳みそから煙が出そうな人は無理する必要ありません。
ゆっくり休んでください。
余裕がある方は頑張って読んであげてください。
あっ、読んでくださるのですね。
ありがとうございます。
それでは、いってみましょう。
まずは予備知識として
・平均値
・偏差
・分散
・標準偏差
・確率変数
・確率分布
・正規分布
について説明します。
「そんなの説明されなくても知ってるよ！」な人は適当に読み飛ばしてください。
平均値は「全部の数字を足して、個数で割った値」です。
偏差は「基準値から、どれくらい離れているかな？」を示す値です。
「値－基準値」で求められます。
基準値としては平均値が使われることが多いです。
難しく考える必要は ありません。
テストの点数が80点でした。
そのテストの平均点は60点でした。
「80」と「60」の差である「20」が（平均点を基準値として使った場合の）偏差です。
細かく見ていくと、もう少しややこしいですけどね。
今回は気にしないでください。
分散は、それぞれの値に対して「値－平均値」の2乗を計算して、それを全データ分足して、それをデータの個数で割る（「それぞれの値の偏差の2乗」の平均を計算する）ことで求められる値です。
データのバラつき具合を示す指標のひとつです。
細かく説明し始めるとクソ長くなるので、今回は止めておきます。
詳細は、用語「分散」の説明を ご覧ください。
標準偏差は「分散の（正の）平方根を計算した値」です。
データのバラつき具合を示す指標のひとつです。
分散も標準偏差も「それぞれの値は、どれくらい平均値から離れているかな？」の平均を取ったものです。
何となくバラつき具合を数値化しています。
ただし、分散は離れ具合を2乗して計算しています。
そのため、直感的に分かりにくいです。
例えば「平均点が『64点』で分散が『176.222……』です」と言われても、どれくらいバラついているのかピンと来ませんよね。
だから、2乗したやつの平方根を取って、実際の値に近付けるのです。
標準偏差は分散よりも実際の値に近いです。
そのため、直感的に分かりやすかったりします。
例えば「平均点が『64点』で標準偏差が『約13.275』です」であれば「64点の±13.275点くらいのバラつき具合なのかな？」と推測できるわけです。
推測ですが「マイナスをプラスにするために2乗したけど、それの平方根を取れば元の値と同じような感覚で考えられるでしょ？」というノリだと思います。
確率変数は「〇〇が××になる確率は△△」と言ったときの「〇〇」の部分です。
ちょっと小難しい言い方をすると「どんな値を取るか確率によって決まる変数」です。
確率変数の例としてよく出てくるのはサイコロの出目とコインを投げたときの裏表です。
サイコロを振って「1」の目が出る確率は6分の1です。
「2」の目が出る確率は6分の1です。
「3」から「6」までの目が出る確率も、それぞれ6分の1です。
サイコロの出目には「これになる確率はこれくらい！」があります。
「サイコロの出目が『1』の確率は6分の1」における「サイコロの出目」が確率変数です。
コインを投げて、表が出る確率は2分の1です。
裏が出る確率は2分の1です。
コインの裏表には「これになる確率はこれくらい！」があります。
「コインを投げたときに出るコインの面が『表』の確率は2分の1」における「コインを投げたときに出るコインの面」が確率変数です。
他にも、確率変数として扱えるものは、たくさんあります。
ちょっとイメージしづらいかもしれませんが、身長や体重なんかも確率変数になり得ます。
「ピヨ太君の身長が170cm～180cmである確率は？」のように考えると「ピヨ太君の身長」が「〇〇が××になる確率は△△」における「〇〇」の部分になりますよね。
確率分布は「この値になる確率は、どれくらいかな？」を表現したものです。
ちょっと小難しい言い方をすると「確率変数が取り得る値とその確率を対応付けたもの」です。
例えばサイコロの出目は「1」から「6」までの数字が、それぞれ6分の1の確率で出ます。
サイコロの出目の確率分布は
「1」になる確率：6分の1
「2」になる確率：6分の1
「3」になる確率：6分の1
「4」になる確率：6分の1
「5」になる確率：6分の1
「6」になる確率：6分の1
です。
あるいは、テストの点数が以下の表のとおりだったとしましょう。
| 学籍番号 | 点数 |
|---|---|
| 1番 | 0点 |
| 2番 | 50点 |
| 3番 | 50点 |
| 4番 | 100点 |
このテスト結果の確率分布は
「0点」になる確率：4分の1
「50点」になる確率：4分の2
「100点」になる確率：4分の1
です。
「テスト『結果』なのに『確率』分布？」と疑問を覚えるかもしれませんけどね。
「4人中1人が0点だったってことは、0点になる確率は4分の1だね」と解釈してください。
他にも、いろいろなものを確率分布で表現できます。
例で挙げたような
「出る可能性がある値」と「その値が出る確率」の対応を表現したもの
が確率分布です。
正規分布は「平均値を中心とした左右対称の山型（釣鐘型）っぽい見た目になる確率分布」です。
正規分布では、平均値に近いところにたくさんのデータがあり、平均値から離れるほど少なくなります。
また、正規分布には
・データの「約68％」は「平均値±標準偏差」の範囲にある
・データの「約95％」は「平均値±標準偏差×2」の範囲にある
・データの「約99.7％」は「平均値±標準偏差×3」の範囲にある
といった特徴があります。
つまり、標準偏差が分かれば「この範囲内に、どれくらいのデータが含まれているかな？」が、ある程度分かるわけです。
以上を踏まえて
平均からどれくらい離れているかを表している数字
であり
「（値－平均値）÷標準偏差×10＋50」の計算式で求められる値
が「偏差値」です。
ちなみに、よく説明されているのが「（値－平均値）÷標準偏差×10＋50」なので、そのように書きましたが、個人的には
（値－平均値）×（10÷標準偏差）＋50
と解釈した方が分かりやすい気がしています。
「値－平均値」が偏差で「×10÷標準偏差」が標準偏差を「10」に調整する処理で「＋50」が平均値を「50」に調整する処理だからです。
偏差値は「テスト結果のバラつき具合が正規分布っぽくなっていると良いね」という前提で考えます。
正規分布っぽくなっていなくても偏差値自体は求められますけどね。
全体の中で自分がどれくらいの位置にいるか把握しにくいのです。
ということで、まずは「テスト結果のバラつき具合が正規分布っぽくなっている」という前提で考えますね。
偏差値は
（値－平均値）÷標準偏差×10＋50
の計算式で求められますが、これは
平均値が「50」で標準偏差が「10」になるように調整するよ！
という処理をやっています。
実際の平均点はテストによって違います。
バラつき具合（標準偏差）もテストによって違います。
このままだと、テスト結果同士を比べられません。
例えば
１．自分の点数：50点、平均点：40点、標準偏差：10
２．自分の点数：80点、平均点：70点、標準偏差：20
の2つのテスト結果を見比べてみてください。
どちらがスゴそうですか？
点数自体は「２」の「80点」の方が高いです。
でも、どちらも「平均点より10点高い」点数を取っています。
標準偏差を見ると、バラつき具合は「２」の方が大きいです。
「１」は平均点近辺で団子状態になっているけど「２」の方は平均点より高い点数を取っている人がそこそこいると考えられます。
それを踏まえて考えてください。
どっちの方がスゴいですか？
基準の違うものを比べたいときは、何らかの形で基準を揃える必要があります。
基準を揃えるために「もし平均点が『50点』でバラつき具合（標準偏差）が『10』だったとしたら、自分の点数は何点に相当するかな？」を考えてみます。
この「もし平均点が『50点』でバラつき具合（標準偏差）が『10』だったとしたら、自分の点数は何点に相当するかな？」の「自分の点数」が偏差値です。
偏差値の計算式
（値－平均値）÷標準偏差×10＋50
をテスト結果
１．自分の点数：50点、平均点：40点、標準偏差：10
２．自分の点数：80点、平均点：70点、標準偏差：20
に当てはめて計算すると、偏差値は
１．（50－40）÷10×10＋50＝60
２．（80－70）÷20×10＋50＝55
となります。
「１」は、もし平均点が「50点」でバラつき具合（標準偏差）が「10」だったとしたら、自分の点数は「60」点相当だと計算できました。
確かに、そうですよね。
「１」の点数は平均点より10点高いです。
「もし平均点が50点だったら、それより10点高い60点だっただろうね」と考えるのは自然です。
「２」は、もし平均点が「50点」でバラつき具合（標準偏差）が「10」だったとしたら、自分の点数は「55」点相当だと計算できました。
今度は、どうでしょうね？
「２」の点数は平均点より10点高いです。
「もし平均点が50点だったら、それより10点高い60点だっただろうね」と考えるのが自然な気がします。
ここで標準偏差に注目してください。
「２」のテスト結果のバラつき具合は「20」です。
もしバラつき具合が「10」だったら、今のバラつき具合は半分に圧縮されます。
バラつき具合が「20」のときの「10」点は、バラつき具合が「10」だったら「5」点くらいしか離れていないと考えられます。
そんな感じで
もし平均点が『50点』でバラつき具合（標準偏差）が『10』だったとしたら、自分の点数は何点に相当するかな？
を考えて数値化してみたのが偏差値です。
ちなみに、上の方で
偏差値は「テスト結果のバラつき具合が正規分布っぽくなっていると良いね」という前提で考える
と言いました。
これは正規分布の特性が絡んできます。
正規分布は平均値を基準として左右対称です。
テスト結果が正規分布になっている場合、平均点より高い点数を取った人と平均点より低い点数を取った人の数は同じになります。
正規分布になっていない場合、平均点より高い人（もしくは低い人）に偏っている可能性があります。
「偏差値『50』だったから（今回テストを受けた人の中では）真ん中くらいか」と判断できるのは、正規分布になっているときだけなのです。
また、正規分布には
・データの「約68％」は「平均値±標準偏差」の範囲にある
・データの「約95％」は「平均値±標準偏差×2」の範囲にある
・データの「約99.7％」は「平均値±標準偏差×3」の範囲にある
といった特徴があります。
データの約68％が平均値±標準偏差の範囲にあるということは、偏差値が「40（＝50－10）」から「60（＝50＋10）」の範囲内に約68％の人がいるということです。
これは偏差値が「40」より下の人が約16％（＝（100－68）÷2）いて「60」より上の人が約16％（＝（100－68）÷2）いることを意味します。
そのような理屈で「偏差値『60』だから上位16％くらいか」と判断したりするのですが、その考え方が使えるのは正規分布になっているときだけなのです。
正規分布ではない場合には、偏差値が分かっても、どれくらいの位置にいるか判断できません。
偏差値自体は、正規分布になっていなくても求められますけどね。
偏差値から自分の位置が推測できるのは正規分布になっている場合です。
あと「大学の偏差値」みたいなのは、また話が違ってきます。
大学とかの偏差値は「前に、この模試で偏差値60だった人がそこそこ受かったから、この大学の偏差値は60ってことにしよう」みたいなノリで決められているみたいです。
そこら辺の あれやこれやは他のところで勉強してください。
一言でまとめるよ
まぁ「偏差値」って単語が出てきたら「平均からどれくらい離れているかを表している数字なんだな～」と お考えください。
おまけ
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