（追記有り）中学でも分かる⑮「一次変換」

　ここでは「一次変換」について学んでいきましょう。この概念は、これまで学習した「行列」と密接な関係があり、数学の世界を広げる重要なステップです。

変換とは

　下図のような座標平面を考えます。中学で習う、$${x}$$ 軸と $${y}$$ 軸がそれぞれの原点 $${\mathrm{O}}$$ で垂直に交わる「$${x\!-\!y}$$ 座標平面」です。

　座標平面とは、数の組 $${(x,  y)}$$ で位置が表される「無数の点の集まり」と考えることができます。
　この座標平面上の任意の点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ が、ある決まった規則によって同じ平面上の点 $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ へと移されるとき、この対応を座標平面上の変換といいます。そして、点 $${\mathrm{P}}$$ が移った先の点 $${\mathrm{Q}}$$ を、この変換による点 $${\mathrm{P}}$$ の像ぞうといいます。

　例えば、座標平面上の任意の点 $${\mathrm{P}}$$ を、下図のように、$${x}$$ 軸方向に $${p}$$、$${y}$$ 軸方向に $${q}$$ だけ動かす平行移動は１つの変換です。

　この変換によって、点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ が 点 $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ に移されるとすると、$${\mathrm{P}}$$ と $${\mathrm{Q}}$$ の座標の間には

$$
\begin{align*}
x'&=x+p\\
y'&=y+q
\end{align*}
$$

という関係があります。この変換を、記号 $${f}$$ などを用いて、次のように表すことができます。

$$
\begin{align*}
f：(x,  y) \longrightarrow (x+p,  y+g)
\end{align*}
$$

例題１

　次の変換による点 $${\mathrm{P}(2,  3)}$$ の像を求めよ。
(1)　$${f：(x,  y) \rightarrow (x+1,  y-4)}$$
(2)　$${g：(x,  y) \rightarrow (2x-6,  -y+1)}$$

解答
(1)　$${x=2,  y=3}$$ を $${(x+1,  y-4)}$$ に代入して

$$
(2+1,  3-4)=(3,  -1)　\cdots\small{(答)}
$$

(2)　$${x=2,  y=3}$$ を $${(2x-6,  -y+1)}$$ に代入して

$$
(2\cdot2-6,  -3+1)=(-2,  -2)　\cdots\small{(答)}
$$

$${\blacksquare}$$

２次正方行列の変換

　ここで、次のような変換 $${f}$$ を考えます。

$$
\begin{align*}
x'&=2x+3y\\
y'&=3x-2y
\end{align*}　\cdots (*1)
$$

　この変換 $${f}$$ によって、 座標平面上の任意の点 $${\mathrm{P}(x, y)}$$ を点 $${\mathrm{Q}(x', y')}$$ に変換します。
　この変換に関して、例題を与えます。

例題２

　変換 $${f}$$

$$
\begin{align*}
x'&=2x+3y\\
y'&=3x-2y
\end{align*}　\cdots (*1)
$$

について、$${\mathrm{P}(x,  y)}$$ が次の点であるとき、$${f}$$ による点 $${\mathrm{P}}$$ の像 $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ を求めなさい。

(1)　$${(1,  2)}$$
(2)　$${(2,  -3)}$$
(3)　$${(0,  0)}$$

解答
(1)　$${(*1)}$$ に、$${x=1,  y=2}$$ を代入して

$$
\begin{align*}
x'&=2x+3y\\
&=2\cdot1+3\cdot2\\
&=2+6\\
&=8\\
y'&=3x-2y\\
&=3\cdot1-2\cdot2\\
&=3-4\\
&=-1
\end{align*}
$$

より

$$
\begin{align*}
\text{Q}(8,  -1)　\cdots\small{(答)}
\end{align*}
$$

(2)　$${(*1)}$$ に、$${x=2,  y=-3}$$ を代入して

$$
\begin{align*}
x&'=2x+3y\\
&=2\cdot2+3\cdot(-3)
\\&=4-9\\
&=-5\\
y'&=3x-2y\\
&=3\cdot2-2\cdot(-3)\\
&=6+6\\
&=12
\end{align*}
$$

より

$$
\begin{align*}
\text{Q}(-5,  12)　\cdots\small{(答)}
\end{align*}
$$

(3)　$${(*1)}$$ に、$${x=0,  y=0}$$ を代入して

$$
\begin{align*}
x'&=2x+3y\\
&=2\cdot0+3\cdot0\\
&=0\\
y&'=3x-2y\\
&=3\cdot0-2\cdot0\\
&=0
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\mathrm{Q}(0,  0)　\cdots\small{(答)}
\end{align*}
$$

$${\blacksquare}$$

　この変換 $${f}$$

$$
\begin{align*}
x'&=2x+3y\\
y'&=3x-2y
\end{align*}　\cdots (*1)
$$

は、次のように２次の正方行列で表すことができます。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
x'\\
y'
\end{pmatrix*}
=\begin{pmatrix*}[r]
2 & 3\\
3 & -2
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
x\\
y
\end{pmatrix*}　\cdots (*2)
\end{align*}
$$

　実際、この $${(*2)}$$ の行列計算を行うと

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
x'\\
y'
\end{pmatrix*}
&=\begin{pmatrix*}[r]
2 & 3\\
3 & -2
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
x\\
y
\end{pmatrix*}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
2x+3y\\
3x-2y
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

　対応する成分は等しいので

$$
\begin{align*}
x'&=2x+3y\\
y'&=3x-2y
\end{align*}
$$

となり、最初に与えた $${(*1)}$$ と同じになることが確認できます。
　この $${(*2)}$$ の関係式から、点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ は行列

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
2 & 3\\
3 & -2
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

によって、点 $${\mathrm{Q}(x,  y)}$$ に変換されると読み取ることができます。「点の座標を行列で変換する」という新しいものの見方です。
　この見方を、先ほどの例題２の (1) について用いると

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
x'\\
y'
\end{pmatrix*}
&=\begin{pmatrix*}[r]
2 & 3\\
3 & -2
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
1\\
2
\end{pmatrix*}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
2\cdot1+3\cdot2\\
3\cdot1-2\cdot2
\end{pmatrix*}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
2+6\\
3-4
\end{pmatrix*}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
8\\
-1
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

より、点 $${\mathrm{P}(1,  3)}$$ は、行列

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
2 & 3\\
3 & -2
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

によって点 $${\mathrm{Q}(8,  -1)}$$ に変換され、先ほどと同じ結果になります。

　この変換を一般化したのが、これから解説する１次変換です。

１次変換の定義

　一次変換の定義を与えます。

＜一次変換＞

　$${a,  b,  c,  d}$$ を定数として

$$
\begin{align*}
x'&=ax+by\\
y'&=cx+dy
\end{align*}
$$

によって点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ と点 $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ の関係を定めると、座標平面上の１つの変換が得られます。
　一般に、この形の式によって表される変換

$$
f：(x,  y) \longrightarrow (x',  y')
$$

を１次変換といいます。１次変換 $${f}$$ は、行列を用いると

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

と表すことができます。つまり、変換 $${f}$$ は行列

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

によって定まるので、この変換 $${f}$$ を、行列 $${\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$$ で表される１次変換といいます。
　また、この行列のことを変換行列とよびます。

＊＊＊

　端的にいうと、１次変換とは行列で表される変換です（詳説１）。

$$
\begin{align*}
\\[-14pt]
f：(x,  y) \xrightarrow[\scriptsize \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}]{１次変換    } (ax+by,  cx+dy)
\end{align*}
$$

一次変換による原点 (0, 0) の像

　次の計算より、１次変換では、原点 $${(0, 0)}$$ は原点に移されることが分かります（例題２(3) 参照）。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\ 0
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
a\cdot0+b\cdot0 \\ c\cdot0+d\cdot0
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\\[-14pt]
f：(0,  0) \xrightarrow[\scriptsize \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}]{１次変換    } (0,  0)
\end{align*}
$$

　一次変換では、原点は他の点に移動せず、原点のままです。つまり１次変換では、原点は常に不動点となります。

１次変換の種

　代表的な１次変換の例として、以下のものがあります。

(1)　$${x}$$ 軸に関する対称移動
(2)　$${y}$$ 軸に関する対称移動
(3)　原点に関する対称移動
(4)　直線 $${y=x}$$ に関する対称移動
(5)　原点を中心とする相似変換
(6)　原点を中心とする回転移動

　これらの一次変換をひとつひとつみていき、それぞれを変換行列で表すことを考えます。

(1)　x 軸に関する対称移動

　点 $${(3,  2)}$$ を $${x}$$ 軸に関して対称移動させると、点 $${(3,  -2)}$$ になります。

　また、点 $${(3,  -2)}$$ を $${x}$$ 軸に関して対称移動させると、点 $${(3,  2)}$$ になります。

　このことから分かるように、$${x}$$ 軸に関する対称移動とは、点の $${x}$$ 座標はそのままに、$${y}$$ 座標の正負の符号を入れ替える操作と考えることができます。

$$
\begin{align*}
x  軸対称： (x,  y) \longrightarrow (x,  -y)
\end{align*}
$$

　一般に、点 $${(x,  y)}$$ を $${x}$$ 軸に関して対称移動させた点を $${(x',  y')}$$ とすると、この変換は次のようになります。

$$
\begin{align*}
x'&=\hspace{7pt}x\\
y'&=-y
\end{align*}
$$

　この変換は

$$
\begin{alignat*}{2}
x'&=1\cdot x & &+\hspace{8pt}0\cdot y\\
y'&=0\cdot x & &+(-1)y
\end{alignat*}
$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　以上により、$${x}$$ 軸に関する対称移動を表す変換行列は

$$
\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*}
$$

となります。

(2)　y 軸に関する対称移動

　点 $${(3,  2)}$$ を $${y}$$ 軸に関して対称移動させると、点 $${(-3,  2)}$$ になります。

　また、点 $${(-3,  2)}$$ を $${y}$$ 軸に関して対称移動させると、点 $${(3,  2)}$$ になります。

　このことから分かるように、$${y}$$ 軸に関する対称移動とは、点の $${y}$$ 座標はそのままに、$${x}$$ 座標の正負の符号を入れ替える操作と考えることができます。

$$
\begin{align*}
y  軸対称： (x,  y) \longrightarrow (-x,  y)
\end{align*}
$$

　一般に、点 $${(x,  y)}$$ を $${y}$$ 軸に関して対称移動させた点を $${(x',  y')}$$ とすると、この変換は次のようになります。

$$
\begin{align*}
x'&=-x\\
y'&=\hspace{8pt}y
\end{align*}
$$

　この変換は

$$
\begin{alignat*}{2}
x'&=(-1)x & &+0\cdot y\\
y'&=\hspace{8pt}0\cdot x & &+1\cdot y
\end{alignat*}
$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　以上により、$${y}$$ 軸に関する対称移動を表す変換行列は

$$
\begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*}
$$

となります。

(3)　原点に関する対称移動

　点 $${(3,  2)}$$ を原点に関して対称移動させると、点 $${(-3,  -2)}$$ になります。

　また、点 $${(-3,  -2)}$$ を原点に関して対称移動させると、点 $${(3,  2)}$$ になります。

　このことから分かるように、原点に関する対称移動とは、$${x}$$ 座標と $${y}$$ 座標の、両方の正負の符号を入れ替える操作と考えることができます。

$$
\begin{align*}
原点対称： (x,  y) \longrightarrow (-x,  -y)
\end{align*}
$$

　一般に、点 $${(x,  y)}$$ を原点に関して対称移動させた点を $${(x',  y')}$$ とすると、この変換は次のようになります。

$$
\begin{align*}
x'&=-x\\
y'&=-y
\end{align*}
$$

　この変換は

$$
\begin{alignat*}{2}
x'&=(-1)x & &+\hspace{15pt}0\cdot y\\
y'&=\hspace{8pt}0\cdot x & &+(-1)\cdot y
\end{alignat*}
$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　以上により、原点に関する対称移動を表す変換行列は

$$
\begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*}
$$

となります。

(4)　直線  y=x  に関する対称移動

　点 $${(3,  2)}$$ を直線 $${y=x}$$ に関して対称移動させると、点 $${(2,  3)}$$ になります。

　また、点 $${(2,  3)}$$ を直線 $${y=x}$$ に関して対称移動させると、点 $${(3,  2)}$$ に戻ります。

　このことから分かるように、直線 $${y=x}$$ に関する対称移動とは、点の $${x}$$ 座標と $${y}$$ 座標を、入れ替える操作と考えることができます。

$$
\begin{align*}
y=x  対称： (x,  y) \longrightarrow (y,  x)
\end{align*}
$$

　一般に、点 $${(x,  y)}$$ を直線 $${y=x}$$ に関して対称移動させた点を $${(x',  y')}$$ とすると、この変換は次のようになります。

$$
\begin{align*}
x'&=y\\
y'&=x
\end{align*}
$$

　この変換は

$$
\begin{alignat*}{3}
x'&=0\cdot x & &+1\cdot y\\
y'&=1\cdot x & &+0\cdot y
\end{alignat*}
$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　以上により、直線 $${y=x}$$ に関する対称移動を表す変換行列は

$$
\begin{pmatrix*}[r] 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix*}
$$

となります。

(5)　原点を中心とする相似変換

　原点から点 $${(2,  3)}$$ までの距離を、原点を中心に $${3}$$ 倍に拡大させると、その点の座標は
　$${(2\times3,  3\times3)=(6,  9)}$$
になります。

　原点を中心とする拡大というのは、上図のように、原点を通る直線上での拡大です。$${x}$$ 座標と $${y}$$ 座標を同じ倍数だけ掛けます。
　また、原点から点 $${(9,  6)}$$ までの距離を、原点を中心に $${\dfrac{1}{3}}$$ 倍に縮小させと、その点の座標は
　$${\left(9\times\dfrac{1}{3},  6\times\dfrac{1}{3}\right)=(3,  2)}$$
になります。

　このように、原点からの距離を拡大したり縮小したりする変換を、原点を中心とする相似変換といいます。相似変換は、$${x}$$ 座標と $${y}$$ 座標を、ともに $${k}$$ 倍する操作とみることができます（ただし $${k>0}$$）。

$$
\begin{align*}
相似変換： (x,  y) \longrightarrow (kx,  ky)
\end{align*}
$$

　一般に、点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ を $${k}$$ 倍に拡大、または縮小させた点を $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ とすると、両者の関係は次のようになります。

$$
\begin{align*}
x'&=ky\\
y'&=kx
\end{align*}
$$

　この変換は

$$
\begin{alignat*}{2}
x'&=k\cdot x & &+0\cdot y\\
y'&=0\cdot x & &+k\cdot y
\end{alignat*}
$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
k & 0 \\ 0 & k
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　ただし
(a)　拡大のときは $${1< k}$$
(b)　縮小のときは $${0< k<1}$$
(c)　等倍で変化しないときは $${k=1}$$
であり、(c) のときを、特に恒等変換といいます。恒等変換とは、変換しても座標が移動しない変換です。恒等変換も相似変換に含めます。

　以上により、相似変換を表す変換行列は、$${k>0}$$ として

$$
\begin{pmatrix*}[c] k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix*}
$$

となります。特に $${k=1}$$ のときは恒等変換となり、そのときの変換行列は

$$
\begin{pmatrix*}[c] 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*}
$$

と単位行列になります。

まとめ

　以上をまとめると

(1)　$${x}$$ 軸に関する対称移動は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

(2)　$${y}$$ 軸に関する対称移動は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

(3)　原点に関する対称移動は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

(4)　$${y=x}$$ に関する対称移動は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

(5)　原点を中心とする $${k}$$ 倍の相似変換は、$${k>0}$$ として

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
k & 0 \\ 0 & k
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

となります。これらはすべて

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

の形で表される一次変換です。

例題３

　点 $${(5,  3)}$$ を、次の (1) ～ (5) の変換行列で変換したときの像 $${(x',  y')}$$ をそれぞれ求めなさい。
(1)　$${x}$$ 軸に関する対称移動
(2)　$${y}$$ 軸に関する対称移動
(3)　原点に関する対称移動
(4)　直線 $${y=x}$$ に関する対称移動
(5)　原点を中心とする $${5}$$ 倍の相似変換（原点からの距離を $${5}$$ 倍にする変換）

指針
　それぞれの変換行列を確認しましょう。点 $${(5,  3)}$$ に、それぞれの変換行列を掛けます。

解答
(1)　$${x}$$ 軸に関する対称移動は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix*}[r]
1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
5 \\ 3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1\cdot5+0\cdot3 \\ 0\cdot5+(-1)\cdot3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
5 \\ -3
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

より

$$
(5,  -3)　\cdots\small{(答)}
$$

(2)　$${y}$$ 軸に関する対称移動は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
&\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
5 \\ 3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
-1\cdot5+0\cdot3 \\ 0\cdot5+1\cdot3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
-5 \\ 3
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

より

$$
(-5,  3)　\cdots\small{(答)}
$$

(3)　原点に関する対称移動は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
5 \\ 3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
-1\cdot5+0\cdot3 \\ 0\cdot5+(-1)\cdot3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
-5 \\ -3
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

より

$$
(-5,  -3)　\cdots\small{(答)}
$$

(4)　$${y=x}$$ に関する対称移動は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix*}[r]
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
5 \\ 3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0\cdot5+1\cdot3 \\ 1\cdot5+0\cdot3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
3 \\ 5
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

より

$$
(3,  5)　\cdots\small{(答)}
$$

(5)　原点を中心とする $${5}$$ 倍の相似変換は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix*}[r]
5 & 0 \\ 0 & 5
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
5 \\ 3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
5\cdot5+0\cdot3 \\ 0\cdot5+5\cdot3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix*}[r]
25 \\ 15
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

より

$$
(25,  15)　\cdots\small{(答)}
$$

$${\blacksquare}$$

(6)　原点を中心とする回転移動

　最後に、原点を中心とする回転移動です。解説にあたっては、三角関数の知識（三角関数を、原点を中心とする円周上の点と捉とらえる考え方）と、次の加法定理を使います（中学でも分かる➆「三角比」、➇「三角関数」）。

＜加法定理＞

$$
\begin{alignat*}{2}
&\sin(\alpha+\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
&\sin(\alpha-\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\
&\cos(\alpha+\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\
&\cos(\alpha-\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\
&\tan(\alpha+\beta) & &=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[8pt]
&\tan(\alpha-\beta) & &=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{alignat*}
$$

＊＊＊

　座標平面上の点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ を、原点の周りに一般角 $${\theta}$$ だけ回転して、点 $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ に移す変換を考えます。

　なお、$${\theta}$$ は一般角で、$${230\degree}$$ や $${-50\degree}$$ など、$${180\degree}$$ より大きい角度やマイナスの角度も含みます（詳説２）。

　下図のように、半径 $${r}$$ の円周上の点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ を考えます。

　このとき、半径 $${\mathrm{OP}}$$ と $${x}$$ 軸の正の部分とのなす角を $${\alpha}$$ とすると、 点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ の座標は、$${r}$$ と $${\alpha}$$ を用いて

$$
(r\cos\alpha,  r\sin\alpha)
$$

と表せるので

$$
\begin{align*}
x&=r\cos\alpha\\
y&=r\sin\alpha
\end{align*}　\cdots(*3)
$$

　この点を、原点を中心に反時計回りに $${\theta}$$ だけ回転させた点を $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ とします。原点を中心とする回転運動なので、点 $${\mathrm{P}}$$ も点 $${\mathrm{Q}}$$ も、半径 $${r}$$ の円周上に存在することに注意してください。

　この点 $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ の座標は、半径 $${\mathrm{OQ}}$$ と $${x}$$ 軸の正の部分とのなす角が $${\theta+\alpha}$$ より

$$
(r\cos(\theta+\alpha),  r\sin(\theta+\alpha))
$$

と表せるので

$$
\begin{align*}
x'&=r\cos(\theta+\alpha)\\
y'&=r\sin(\theta+\alpha)
\end{align*}
$$

　ここで、加法定理

$$
\begin{alignat*}{2}
&\sin(\alpha+\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta　\cdots(*4)\\
&\sin(\alpha-\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\
&\cos(\alpha+\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta　\cdots(*5)\\
&\cos(\alpha-\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\end{alignat*}
$$

の $${(*4),  (*5)}$$ を用いて

$$
\begin{align*}
x'&=r\cos(\theta+\alpha)\\
&=r(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)　{\small \cdots(*5) より}\\
&=r\cos\theta\cos\alpha-r\sin\theta\sin\alpha\\
&=\cos\theta\cdot\underline{r\cos\alpha}-\sin\theta\cdot\underline{r\sin\alpha}\\
y'&=r\sin(\theta+\alpha)\\
&=r(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)　{\small \cdots(*4) より}\\
&=r\sin\theta\cos\alpha+r\cos\theta\sin\alpha\\
&=\sin\theta\cdot\underline{r\cos\alpha}+\cos\theta\cdot\underline{r\sin\alpha}
\end{align*}
$$

　下線部に、$${(*3)}$$ 式

$$
\begin{align*}
x&=r\cos\alpha\\
y&=r\sin\alpha
\end{align*}　\cdots(*3)
$$

を代入して

$$
\begin{align*}
x'&=\cos\theta\cdot x-\sin\theta\cdot y\\
y'&=\sin\theta\cdot x+\cos\theta\cdot y
\end{align*}
$$

　これを行列を用いて表すと

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

となるので、原点を中心とする回転移動を表す変換行列は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

となります。この行列を回転行列といいます。あらためて定義を与えます。

＜回転行列＞

　座標平面上の点 $${\mathrm{P}(x, y)}$$ を、原点の周りに一般角 $${\theta}$$ だけ回転して点 $${\mathrm{Q}(x', y')}$$ に移す変換は、次のように表せる。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix*}[r]
\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　このときの変換行列

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

を回転行列という。

＊＊＊

例題４

　座標平面上の点 $${\mathrm{P}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},   \dfrac{1}{2}\right)}$$ を、原点の周りに $${\theta\degree}$$ だけ回転して、点 $${\mathrm{Q}(x', y')}$$ に移す変換を考えます。このとき、次の場合について、点 $${\mathrm{Q}(x', y')}$$ の座標を回転行列を用いて求めなさい。
(1)　$${\theta=60\degree}$$ のとき
(2)　$${\theta=120\degree}$$ のとき

指針
　$${\mathrm{P}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},   \dfrac{1}{2}\right)}$$ に、それぞれの角度の回転行列を掛けます。

解答
(1)　$${60\degree}$$ だけ回転させるときの回転行列は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
\cos60\degree & -\sin60\degree \\ \sin60\degree & \cos60\degree
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

　すると

$$
\begin{align*}
\sin60\degree&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt]
\cos60\degree&=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$$

より

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
\cos60\degree & -\sin60\degree \\ \sin60\degree & \cos60\degree
\end{pmatrix*}
=\begin{pmatrix*}[c]
\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

　よって

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix*}[r]
\cos60\degree & -\sin60\degree \\ \sin60\degree & \cos60\degree
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}\\[18pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt]
\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}\\[22pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\
\end{pmatrix*}\\[22pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \\[8pt]
\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\\
\end{pmatrix*}\\[22pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
0 \\[4pt]
\dfrac{4}{4}\\
\end{pmatrix*}\\[16pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
0 \\
1\\
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

　したがって

$$
\mathrm{Q}(0,  1)　\cdots{\small（答）}
$$

確認
　回転行列を用いないで、三角関数の知識のみで解いてみましょう。
　下図から分かるように、点 $${\mathrm{P}}$$ は単位円（原点を中心とする半径が $${1}$$ の円）の円周上にあり、半径 $${\mathrm{OP}}$$ と $${x}$$ 軸の正の部分とのなす角は $${30\degree}$$ です（中学でも分かる➆「三角比」）。 

　すると、点 $${\mathrm{P}}$$ は単位円周上で、$${x}$$ 軸の正の部分とのなす角が
　$${30\degree+60\degree=90\degree}$$
の位置に移動するので

$$
\mathrm{Q}(\cos90\degree,  \sin90\degree)=\mathrm{Q}(0,  1)
$$

となり、同じ結果になります。

(2)　$${120\degree}$$ だけ回転させるときの回転行列は

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
\cos120\degree & -\sin120\degree \\ \sin120\degree & \cos120\degree
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

　すると

$$
\begin{align*}
\sin120\degree&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt]
\cos120\degree&=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$$

　より

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix*}[r]
\cos120\degree & -\sin120\degree \\ \sin120\degree & \cos120\degree
\end{pmatrix*}
=\begin{pmatrix*}[c]
-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

　よって

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix*}[r]
\cos120\degree & -\sin120\degree \\ \sin120\degree & \cos120\degree
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix*}[c]
-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt]
\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}\\[22pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\
\end{pmatrix*}\\[22pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
-\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \\[8pt]
\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}
\end{pmatrix*}\\[22pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
-\dfrac{2\sqrt{3}}{4} \\[8pt]
\dfrac{2}{4}
\end{pmatrix*}\\[22pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt]
\dfrac{1}{2}
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

　したがって

$$
\mathrm{Q}\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},  \dfrac{1}{2}\right)　\cdots{\small（答）}
$$

確認
　回転行列を用いないで、三角関数の知識のみで解いてみましょう。
　点 $${\mathrm{P}}$$ は単位円周上で、$${x}$$ 軸の正の部分とのなす角が
　$${30\degree+120\degree=150\degree}$$
の位置に移動するので

$$
\mathrm{Q}(\cos150\degree,  \sin150\degree)=\mathrm{Q}\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},   \dfrac{1}{2}\right)
$$

となり、同じ結果になります。

　ちなみに、この変換は $${y}$$ 軸に関する対称移動であることにも注意。実際に、$${y}$$ 軸対称の変換行列を用いて計算すると

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}\\[20pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
-1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+0\cdot\dfrac{1}{2} \\[8pt] 0\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot\dfrac{1}{2}\\
\end{pmatrix*}\\[22pt]
&=\begin{pmatrix*}[c]
-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt]
\dfrac{1}{2}
\end{pmatrix*}
\end{align*}
$$

となり、同じ結果になります。

平行移動は一次変換ではないこと

　座標平面上の各点 $${\mathrm{P}}$$ を、下図のように、$${x}$$ 軸方向に $${p}$$、$${y}$$ 軸方向に $${q}$$ だけ動かす平行移動によって、点 $${\mathrm{P}(x,  y)}$$ が点 $${\mathrm{Q}(x',  y')}$$ に移されるとすると、$${\mathrm{P}}$$ と $${\mathrm{Q}}$$ の座標の間には

$$
\begin{align*}
x'&=x+p\\
y'&=y+q
\end{align*}
$$

という関係が成り立つことは最初にやりました。

　この式を見ると、右辺に定数項 $${p}$$ と $${q}$$ が含まれています。よって、平行移動は１次変換ではありません。１次変換の定義

$$
\begin{align*}
x'&=ax+by\\
y'&=cx+dy
\end{align*}
$$

には定数項は含まれていないため、平行移動は１次変換ではないことが分かります。

直感的なイメージ

　１次変換では、原点 $${(0, 0)}$$ は原点のままです。しかし平行移動は、原点 $${(0, 0)}$$ を $${(p,q)}$$ に移します。１次変換では、原点は常に不動点でした。このことから、平行移動は１次変換とは異なる変換であることがわかります。

（追記）

　一次変換は、点だけでなく、直線や図形といった点の集合全体を、まるで原点 $${\mathrm{O}}$$ を中心に広がるゴム膜のように、一斉に伸縮させたり、回転させたりして新しい図形へと変換します。
　それに対し、平行移動は、図形全体を別の場所に移動させる変換です。この平行移動は、すべての点を一様にずらすため、図形が原点 $${\mathrm{O}}$$ を含んでいた場合、その原点も一緒に移動してしまい、一次変換が持つ「原点をつねに原点に保つ」という重要な性質から外れてしまいます。
　つまり、一次変換は、原点を動かない基準点（不動点）とする特別な変換なので、平行移動が一次変換の仲間ではないことが、直感的に理解しやすくなるでしょう。

一次変換の歴史

　19世紀のイングランドの数学者、アーサー・ケイリー（Arthur Cayley）と、ジェームス・ジョセフ・シルベスター（James Joseph Sylvester）は、互いの研究に刺激を与え合いながら、行列の理論を発展させました。

　「Matrix（行列）」という言葉は、1850年にシルベスターによって初めて用いたとされています。

　ケイリーやシルベスターなど多くの数学者たちが、一次変換を表現するための道具として行列を導入しました。これにより、複雑な連立方程式やさまざまな変換を、よりシンプルかつ統一的に扱うことが可能となりました。
　例えば、対称移動、拡大・縮小、回転といった幾何学的操作が、それぞれ特定の行列を掛けることで表現できるようになり、これも彼らの貢献の一つです。
　ケイリーが行列の加法や乗法、逆行列といった代数的な操作を確立したことで、多くの数学者がこの概念についての議論を重ね、研究を深めていきました。この活発な議論が、新しい数学分野である線形代数の基礎を築いたのです。線形代数は、現代の数学だけでなく、物理学、工学、コンピュータサイエンスなど、さまざまな分野でその基礎を築いています。

（詳説１）一次変換の次数の拡張

　本文では、２次元平面での一次変換を学びました。これは「平面上の点を移す変換」と捉えられます。変換行列は２次の正方行列です。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　この概念は、３次元空間にも自然に拡張できます。つまり、一次変換を「空間内の点を写す変換」と考えることができます。その際、３次元空間での一次変換は次のように定義されます。変換行列は３次の正方行列です。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x' \\ y' \\ z'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　さらに、抽象的な高次元の $${n}$$ 次元空間を考え、一次変換を「$${n}$$ 次元空間内の点を写す変換」と拡張することができます。その際、$${n}$$ 次元空間内での一次変換は次のように定義されます。変換行列は $${n}$$ 次の正方行列です。

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

　このように、$${n}$$ 次元の変換を考えることによって、より多くの情報を扱えるようになります。例えば、ウェブサイトのおすすめ機能では、閲覧者の購入履歴、閲覧時間、クリックした商品の種類など、何十種類もの情報を「$${n}$$ 個の数字」として扱っています。このように、たくさんの情報を持つものを「$${n}$$ 次元空間の点」とみなすことで、それらを数学的に分析し、効率よく処理できるようになります。
　また、量子力学や宇宙論など最先端の科学では、私たちが直感的に理解できる３次元を超えた「高次元の空間」が、現象を説明するために不可欠な道具となっています。

（詳説２）一般角

　一般角の定義を与えます（中学でも分かる➇「三角関数」）

＜一般角の定義＞

　動径 $${\mathrm{OP}}$$ が $${\mathrm{O}}$$ の周りを回転するとき、$${x}$$ 軸の正の部分から反時計回り（正の方向）に測った角を正の角、時計回り（負の方向）に測った角を負の角とする。角度は $${x}$$ 軸の正の部分から測ることに注意。この $${x}$$ 軸の正の部分を始線という。
　例えば、正の角 $${120\degree}$$、負の角 $${-60\degree}$$ は下図のようになる。

　動径 $${\mathrm{OP}}$$ が $${\mathrm{O}}$$ の周りを回転すると、その回転量に応じて、いくらでも絶対値の大きい角度が考えられる。このように角を”回転の量”と捉え、$${360\degree}$$ より大きい角や、負の角まで意味をひろげた角を一般角という。
　$${360\degree}$$ 回転すると、動径はちょうど $${1}$$ 回転してもとと同じ位置にくる。したがって、１つの動径 $${\mathrm{OP}}$$ と始線とのなす角は無数に考えられるが、その１つを $${a\degree}$$ とすると、$${\mathrm{OP}}$$ を表す一般角 $${\theta}$$ は次の式で表される。

$$
\begin{align*}
\theta=a\degree+360\degree\times n\small{（n  は整数）}
\end{align*}
$$

＊＊＊

例１　$${420\degree}$$ は
　　$${420\degree=60\degree+360\degree\times1}$$
で表せます。

　半時計周りに１周回って $${60\degree}$$ 進んだ角度です。

例２　$${780\degree}$$ は
　　$${780\degree=60\degree+360\degree\times2}$$
で表せます。

　半時周りに２周回って $${60\degree}$$ 進んだ角度です。

例３　$${-300\degree}$$ は
　　$${-300\degree=60\degree+360\degree\times(-1)}$$
で表せます。

　負の角なので、時計回りに $${300\degree}$$ 進んだ角度です。
　すると、例１、例２、例３はすべて同じ動径を表し、$${60\degree}$$ のときと同じであることが分かります。よって、このときの動径 $${\text{OP}}$$ を表す一般角 $${\theta}$$ は

$$
\begin{align*}
\theta=60\degree+360\degree\times n\small{（n  は整数）}
\end{align*}
$$

となります。