「2の補数」と「1の補数」の違い

予備知識

用語	意味
10進数	それぞれの桁の数字が「10」になると桁上がりする数字
2進数	それぞれの桁の数字が「2」になると桁上がりする数字
補数	元の数に足すと桁上がりする数のうち一番小さいもの。あるいは、元の数に足しても桁上がりしない数のうち一番大きいもの
基数の補数	元の数に足すと桁上がりする数のうち一番小さいもの
減基数の補数	元の数に足しても桁上がりしない数のうち一番大きいもの

例えば10進数「39」の基数の補数は「61」です。
「39」と「61」を足すと「100」になります。
2桁の数に足して3桁になる数（の中で一番小さいもの）ですよね。

10進数「39」の減基数の補数は「60」です。
「39」と「60」を足すと「99」です。
ギリギリ2桁のままですよね。

それぞれの用語の意味

用語	意味
2の補数	2進数版・基数の補数。2進数における、元の数に足すと桁上がりする数のうち、一番小さいもの
1の補数	2進数版・減基数の補数。2進数における、元の数に足しても桁上がりしない数のうち、一番大きいもの

似ているところ

どちらも「補数」と呼ばれているものです。
あと、どちらも2進数の話で出てきます。

違うところ

大雑把に言えば、桁上がりするかしないかの違いです。
それぞれ

2の補数：足すと桁上がりする数のうち、一番小さいもの
1の補数：足しても桁上がりしない数のうち、一番大きいもの

です。

例えば、そうですね。

2進数で「101」という数字があったとしましょう。

「101」は3桁です。

「101」に「1」を足すと「110」になります。
3桁です。

「101」に「10」を足すと「111」になります。
3桁です。

「101」に「11」を足すと「1000」になります。
4桁になりました。

3桁の「101」に足すと4桁になる数のうち一番小さい「11」が（「101」の）2の補数です。

3桁の「101」に足してもギリギリ4桁にならない「10」が（「101」の）1の補数です。

備考

10進数における補数は

基数の補数：10の補数
減基数の補数：9の補数

と表現したりします。

「9」は「10-1（ジュウ・ヒク・イチ）」ですよね。
ということは10進数の補数は

基数の補数：10の補数
減基数の補数：（10-1）の補数＝9の補数

と解釈できます。

実は2進数の場合も同じです。

2進数における

基数の補数：2の補数
減基数の補数：1の補数

は

基数の補数：2の補数
減基数の補数：（2-1）の補数＝1の補数

と解釈できます。

出てくる数字が「1」と「2」なので順番っぽく見えちゃうかもしれませんけどね。
実際には「2-1」と「2」だったりします。

さて、ここまでを踏まえて、ちょっと考えてみてください。
3進数の場合は、どのような表現になりますかね？

3進数の場合は

基数の補数：3の補数
減基数の補数：（3-1）の補数＝2の補数

となります。

おやおや「2の補数」という表現が出てきてしまいましたね。

ということで「2の補数」という表現が出てきたときには

１．2進数における基数の補数：2の補数
２．3進数における減基数の補数：（3-1）の補数＝2の補数

の2つの可能性があります。
ただし、3進数が出てくる機会があまりないので

2の補数＝2進数における基数の補数

と決め打ちで説明されていることが多いのです。

それでは1の補数は、どうでしょうか。

1の補数が基数の補数になるのは1進数の場合です。
1進数の場合は

基数の補数：1の補数
減基数の補数：（1-1）の補数＝0の補数

となります。

ただし、1進数も一般的ではありません。
よって

1の補数＝2進数における減基数の補数

と決め打ちで説明されていることが多いのです。