「分かりそう」で「分からない」でも「分かった」気になれるIT用語辞典

別にIT用語というわけでも ないですけどね。
某・資格試験の過去問に統計関係の用語が出てくることがあるので取り上げておきます。

順番に見ていきましょう。
まずは予備知識として

・平均値
・絶対値
・偏差

について簡単に説明します。
「そんなの説明されなくても知ってるよ！」な人は適当に読み飛ばしてください。

平均値は「全部の数字を足して、個数で割った値」です。



絶対値は「数字の、数字の部分」です。
0より大きければそのまま、0より小さければ「－（マイナス）」を取っ払った数字です。

例えば「3」の絶対値は「3」です。
「3」の数字の部分は「3」ですよね。



「－2」の絶対値は「2」です。
「－2」の数字の部分は「2」ですよね。



ちなみに、数学では絶対値を「原点（「0」のところ）からの距離」と説明することが多いようです。

偏差は「基準値から、どれくらい離れているかな？」を示す値です。
「値－基準値」で求められます。
基準値としては平均値が使われることが多いです。



難しく考える必要は ありません。

テストの点数が80点でした。



そのテストの平均点は60点でした。



「80」と「60」の差である「20」が（平均点を基準値として使った場合の）偏差です。



細かく見ていくと、もう少しややこしいですけどね。
今回は気にしないでください。



以上を踏まえて、本題に入ります。

サクっと一言で説明すると

データのバラつき具合を示す指標（のひとつ）

が（統計の話で出てくる）「分散」です。
値が大きいほどバラバラに散らばっています。



分散は

それぞれの値に対して「値－平均値」の2乗を計算して、それを全データ分足して、それをデータの個数で割る（「それぞれの値の偏差の2乗」の平均を計算する）

ことで求められます……が一旦、忘れてください。
段階を踏んだ方が理解しやすいと思います。



値のバラつき具合は

平均値から大きく離れている値がたくさんあるほどバラつき具合が大きくなる

と考えられます。

例えば、テスト結果が以下の通りだったとしましょう。

学籍番号	点数
1番	64点
2番	64点
3番	64点
4番	64点
5番	64点
6番	64点
7番	64点
8番	64点
9番	64点

全員64点で平均点が64点です。
これは全然バラついていませんよね。



それでは今度は、どうでしょう。
テスト結果が以下の通りでした。

学籍番号	点数
1番	100点
2番	28点
3番	64点
4番	64点
5番	64点
6番	64点
7番	64点
8番	64点
9番	64点

平均点は先ほどと同じ64点になりますが、点数自体は28点から100点までの範囲に散らばっています。
パッと見で、どうでしょう。
全員64点だったときと比べると、バラついている感がありますよね。



もう一例、見てみましょう。
テスト結果が以下の通りでした。

学籍番号	点数
1番	60点
2番	68点
3番	60点
4番	68点
5番	60点
6番	68点
7番	60点
8番	68点
9番	64点

平均点は今までと同じ64点です。
点数自体は60点から68点までの範囲に散らばっています。
パッと見で、どうでしょう。
全員64点だったときと比べると、バラついている感がありますよね。



あくまで印象の話ですが、値が平均値から大きく離れているほど、バラつき具合は大きくなりそうです。
それなら、それぞれの値がどれくらい平均値から離れているか調べて、その平均（平均値から離れている度合いの平均）を求めれば、バラつき具合を何となく数値化できそうな気がします。

「どれくらい平均値から離れているか」は「値－平均値」で求められます。
それを、すべての値に対してやって平均を取ればバラつき具合を数値化できそうですね。

実際にやってみましょう。
最初は全員64点だったテスト結果に対してやってみますね。
項目「点数」の横に項目「点数－平均点」を追加します。

学籍番号	点数	点数－平均点
1番	64点	64－64＝0
2番	64点	64－64＝0
3番	64点	64－64＝0
4番	64点	64－64＝0
5番	64点	64－64＝0
6番	64点	64－64＝0
7番	64点	64－64＝0
8番	64点	64－64＝0
9番	64点	64－64＝0

「平均点からどれくらい離れているか？」の平均は

（0＋0＋0＋0＋0＋0＋0＋0＋0）÷9＝0

でした。
バラつき具合は「0」です。

次に、点数が28点から100点までの範囲に散らばっていたテスト結果に対してやってみます。
項目「点数」の横に項目「点数－平均点」を追加しました。

学籍番号	点数	点数－平均点
1番	100点	100－64＝36
2番	28点	28－64＝－36
3番	64点	64－64＝0
4番	64点	64－64＝0
5番	64点	64－64＝0
6番	64点	64－64＝0
7番	64点	64－64＝0
8番	64点	64－64＝0
9番	64点	64－64＝0

「平均点からどれくらい離れているか？」の平均は

（36＋（－36）＋0＋0＋0＋0＋0＋0＋0）÷9＝0

でした。

あれ？
「0」になっちゃいましたね。

ここで学籍番号2番の人の「28－64＝－36」に注目してください。
これは「点数は28点で、平均点は64点なので、平均点から－36点離れている」という意味です。

これは、ちょっと違和感がありますね。
もちろん「28点は64点から－36点離れている」でも間違いではないでしょうけどね。
単純に「どれくらい離れているの？」を考えるのであれば「28点は64点から36点離れている」の方が自然です。

よって「平均値からどれくらい離れているか？」を考えるときは、マイナス方向に離れていてもプラスで考えます。
カッコ付けた言い方をすると、絶対値で考えるわけです。

そのため、先ほどの

（36＋（－36）＋0＋0＋0＋0＋0＋0＋0）÷9＝0

は

（36＋36＋0＋0＋0＋0＋0＋0＋0）÷9＝8

に なります。
バラつき具合は「8」と求められました。

最後に、点数が60点から68点までの範囲に散らばっていたテスト結果に対してやってみます。
項目「点数」の横に項目「点数－平均点」を追加しました。

学籍番号	点数	点数－平均点
1番	60点	60－64＝－4
2番	68点	68－64＝4
3番	60点	60－64＝－4
4番	68点	68－64＝4
5番	60点	60－64＝－4
6番	68点	68－64＝4
7番	60点	60－64＝－4
8番	68点	68－64＝4
9番	64点	64－64＝0

「平均点からどれくらい離れているか？」の平均は

（（－4）＋4＋（－4）＋4＋（－4）＋4＋（－4）＋4＋0）÷9＝0

でした。

あれ？
「0」になっちゃいましたね。

これも先ほどと同じです。

「平均値からどれくらい離れているか？」を考えるときは、マイナス方向に離れていてもプラスで考える

のです。

ということで

（（－4）＋4＋（－4）＋4＋（－4）＋4＋（－4）＋4＋0）÷9＝0

は

（4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋0）÷9＝3.55…

に なります。
バラつき具合は「3.55…」と求められました。

ここまでの結果を並べて書くと

全部64点のテスト結果のバラつき具合：0
28点から100点まであるテスト結果のバラつき具合：8
60点から68点まであるテスト結果のバラつき具合：3.55…

です。
なんか、それっぽくなっていますね。

さぁ、いよいよ大詰めです。

今回の例では、バラつき具合を

それぞれの値に対して「値－平均値」の絶対値を計算して、それを全データ分足して、それをデータの個数で割る

ことで求めました。

「値－平均値」ではなく「値－平均値」の絶対値としたのは

マイナス方向に離れていてもプラスに考える

ためです。

実はマイナスの数字をプラスに変える方法は絶対値を取るだけでは ありません。

元の数字を2乗してもプラスになる

のです。
「（－1）×（－1）＝1」ですよね。
マイナスの数値を2乗するとプラスになります。

そのため

それぞれの値に対して「値－平均値」の絶対値を計算して、それを全データ分足して、それをデータの個数で割る

ではなく

それぞれの値に対して「値－平均値」の2乗を計算して、それを全データ分足して、それをデータの個数で割る

としてもバラつき具合は求められます。
やりたいことは単に

マイナスの値をプラスにしたい

だからです。
※絶対値ではなく2乗にするのは、差を大げさにしたいとか、微分できるからとかの理由もあります。そこら辺が気になる方は他のところで情報を補完してください。





ふぃ～、長くなりました。
これが分散の計算式の理屈です。

まとめると

データのバラつき具合を示す指標

であり

それぞれの値に対して「値－平均値」の2乗を計算して、それを全データ分足して、それをデータの個数で割る（「それぞれの値の偏差の2乗」の平均を計算する）

ことで求められる値が（統計の話で出てくる）分散です。

ちゃんと見ていくと、ややこしいですけどね。
考え方は

それぞれの値は平均値からどれくらい離れているの？

です。
それを頑張って数値化しただけですよ。

あと、おまけで、分散は

「それぞれの値を2乗した値」の平均－「平均値」の2乗

でも求められます。
こちらは裏ワザ的な求め方ですが、計算問題とかを解くときは便利です。
気が向いたら、頭の片隅にでも置いておいてあげてください。

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