中学でも分かる⑱『必要十分条件と対偶』

　「必要十分条件」と「対偶」について簡単に解説します。中学でも分かる⑰『固有値』の補足欄でも解説しましたが、数学を学ぶ上で非常に重要な考え方なので、いくつかの例題、および命題と論理の歴史を新たに加え、単独記事として再投稿します。詳しくは高校１年の数学で習います。

命題の真と偽、反例

　２つの条件 $${p,  q}$$ に対して「$${p}$$ ならば $${q}$$」という命題を考えます。これは「ならば」を意味する記号 $${\rightarrow}$$ や $${\Rightarrow}$$ を用いて

$$
\begin{align*}
p \rightarrow q
\end{align*}
$$

または

$$
\begin{align*}
p \Rightarrow q
\end{align*}
$$

と表します。このとき、$${p}$$ をこの命題の仮定、$${q}$$ を結論といいます。

　例えば「$${x=1}$$ ならば $${x^2=1}$$」という命題は

$$
\begin{align*}
x=1 \rightarrow x^2=1
\end{align*}
$$

と表せます。このとき $${x=1}$$ は仮定で、$${x^2=1}$$ は結論です。

　また、命題が正しいとき、その命題は真であるといい、正しくないとき、その命題は偽であるといいいます。
　例えば、
　$${x=1}$$ ならば $${x^2=1}$$
という命題は真です。$${x=1}$$ を $${x^2=1}$$ に代入すれば成り立ちます。
　一方、その命題の仮定と結論を入れ換えた
　$${x^2=1}$$ ならば $${x=1}$$
という命題は、正しくないので偽です。

　ある命題が偽であることを示すには、その命題が成り立たない例を一つあげます、そのような例を反例といいます。反例とは、仮定を満たすが結論を満たさない例のことです。
　すると、先ほどの「$${x^2=1}$$ ならば $${x=1}$$」の反例は $${x=-1}$$ となります。$${x=-1}$$ は、仮定 $${x^2=1}$$ を満たしますが、結論 $${x=1}$$ を満たしません。

必要条件と十分条件

　一般に、２つの条件 $${p,  q}$$ に対して、命題 $${p \rightarrow q}$$ が真であるとき、
　$${p}$$ は $${q}$$ であるための十分条件
　$${q}$$ は $${p}$$ であるための必要条件
という。

$$
\begin{align*}
\underset{\tiny 十分条件}{p}\hspace{-6pt}\rightarrow\hspace{-6pt}\underset{\tiny 必要条件}{q}
\end{align*}
$$

＊＊＊

　「必要」や「十分」という日常語の意味から理解しようとすると、多くの場合はかえって混乱するので、上記のように機械的に覚えればよいでしょう。

＜覚え方＞
　「～は」の主語だけに着目して、
・「～は」が矢印の根元にあれば十分条件
・「～は」が矢印の先端にあれば必要条件
と覚えます。下図のように、矢印の根元は「十」と書けるので十分条件、矢印の先端は「必」とかけるので必要条件、と覚えれば分かりやすいでしょう。

　例えば、先ほどの「$${x=1}$$ ならば $${x^2=1}$$」という命題を考えます。

$$
\begin{align*}
x=1 \rightarrow x^2=1
\end{align*}
$$

この命題は真です。このとき、
　$${x=1}$$ は $${x^2=1}$$ であるための十分条件
であり
　$${x^2=1}$$ は $${x=1}$$ であるための必要条件
となります。

$$
\begin{align*}
\underset{\tiny 十分条件}{x=1} \rightarrow \underset{\tiny 必要条件}{x^2=1}
\end{align*}
$$

　十分条件や必要条件は、２つの条件の間の論理的な関係を表す言葉なので、なにかある１つの条件だけを取り出して「～は十分条件である」というような言い方は、論理的には適切ではありません。
　ただし、文脈から「何のための条件か」がはっきりしているときには、「p は十分条件である」「q は必要条件である」のように、「～であるための」を省略していうこともよくあります。

例　$${x=1}$$ は十分条件、$${x^2=1}$$ は必要条件である。

　次に、この命題の仮定と結論を入れ換えた「$${x^2=1}$$ ならば $${x=1}$$」という命題を考えます。

$$
\begin{align*}
x^2=1 \rightarrow x=1
\end{align*}
$$

　この命題は偽でした（反例は $${x=-1}$$）。
　なお、十分条件や必要条件といえるのは、その命題「$${p \rightarrow q}$$」が真である場合だけです。命題が偽である場合には、必要条件や十分条件という枠組みは適用できません。

例題

　次の条件 $${p,  q}$$ について、$${p}$$ は $${q}$$ であるための十分条件か、必要条件か、必要十分条件か、必要条件でも十分条件でもないか、最も適するものを１つ選びなさい。なお、文字はすべて実数を表すものとする。
(1)　$${p : x=3}$$　　　　　　　$${\!q : x^2=9}$$
(2)　$${p : ac=bc}$$　　　　　　$${q : a=b}$$
(3)　$${p : x^2-3x+2=0}$$　　$${\,q : x=1,  2}$$
(4)　$${p : x>1}$$　　　　　　　$${q : xy>1}$$

指針
　$${p \rightarrow q}$$（$${p}$$ ならば $${q}$$）と $${p \leftarrow q}$$（$${q}$$ ならば $${p}$$）のそれぞれの真偽を調べます。このとき、主語である $${p}$$ を、つねに右側に置いた方が分かりやすいです。ならば（$${\rightarrow}$$）の向きは逆（$${\leftarrow}$$）になりますが、「$${p}$$ は $${q}$$ であるための〇〇条件」という文の主語である $${p}$$ を右側に固定して考えることで、判断しやすくなります。
　$${p \rightarrow q}$$ だけが真であれば、$${p}$$ は $${q}$$ であるための十分条件。
　$${p \leftarrow q}$$ だけが真であれば、$${p}$$ は $${q}$$ であるための必要条件。
　$${p \rightarrow q}$$ と $${p \leftarrow q}$$ の両方が真であれば、$${p}$$ は $${q}$$ であるための必要十分条件。
　$${p \rightarrow q}$$ と $${p \leftarrow q}$$ の両方が偽であれば、$${p}$$ は $${q}$$ であるための必要条件でも十分条件でもない。
となります。

解説
(1)　「$${x=3 \rightarrow x^2=9}$$」について
　$${x=3}$$ を $${x^2=9}$$ に代入すると、$${9=9}$$ となり成り立つので、この命題は真である。
　「$${x=3 \leftarrow x^2=9}$$」について
　$${x^2=9}$$ を解くと $${x=\pm3}$$ となるが、$${x=-3}$$ のときは、仮定 $${x^2=9}$$ は成り立つが結論 $${x=3}$$ は成り立たない（$${-3\ne3}$$ なので）。
　よって、反例として $${x=-3}$$ が存在するので、この命題は偽である。

$$
\begin{align*}
\\[-14pt]
x=3  &\xrightleftarrows[\normalsize \hspace{1pt}\times]{〇}  x^2=9\\[-2pt]
&{\scriptsize \hspace{-6pt}反例   x\!\!=\!\!-3}
\end{align*}
$$

　以上より、「$${\overset{p}{x=3} \rightarrow \overset{q}{x^2=9}}$$」の方だけが真であるので、$${p}$$ は $${q}$$ であるための十分条件である。

（ポイント）
　以上のように、主語 $${x=3}$$ の方を右側において、
　$${x=3 \rightarrow x^2=9}$$
および、「ならば」の矢印の向きを変えた
　$${x=3 \leftarrow x^2=9}$$
の真偽を調べます。

(2)　「$${ac=bc \rightarrow a=b}$$」について
　例えば $${a=1,  b=3,  c=0}$$ のとき、仮定 $${ac=bc}$$ は成り立つが、結論 $${a=b}$$ は成り立たない（$${1\ne3}$$ なので）。
　よって、反例 $${a=1,  b=3,  c=0}$$ が存在するので、この命題は偽である。
　「$${ac=bc \leftarrow a=b}$$」について
　$${a=b}$$ の両辺に $${c}$$ を掛けると $${ac=bc}$$ が得られるので、この命題は真である。

$$
\begin{align*}
&{\scriptsize \hspace{-26pt}反例  a\!=\!1, b\!=\!3, c\!=\!0}\\[-2pt]
ac=bc  &\xrightleftarrows[\raisebox{-5pt}{\scriptsize 〇}]{\normalsize \times}  a=b
\end{align*}
$$

　以上より、「$${\overset{p}{ac=bc} \leftarrow \overset{q}{a=b}}$$」の方だけが真であるので、$${p}$$ は $${q}$$ であるための必要条件である。

(3)　「$${x^2-3x+2=0 \rightarrow x=1,  2}$$」について
　$${x^2-3x+2=0}$$ を因数分解する。
　足して $${-3}$$、掛けて $${+2}$$ になる２つの数は $${-1}$$ と $${-2}$$なので
　$${x^2-3x+2=(x-1)(x-2)}$$
　よって $${(x-1)(x-2)=0}$$ から
　$${x-1=0}$$ または $${x-2=0}$$
　すなわち $${x=1}$$ または $${x=2}$$ が得られるので、この命題は真である。
　「$${x^2-3x+2=0 \leftarrow x=1, 2}$$」について
　$${x=1}$$ を $${x^2-3x+2=0}$$ に代入すると $${0=0}$$ となり成り立つ。
　$${x=2}$$ を $${x^2-3x+2=0}$$ に代入すると $${0=0}$$ となり成り立つ。
　よって、この命題は真である。

$$
\begin{align*}
\\[-14pt]
x^2-3x+2=0  &\xrightleftarrows[\raisebox{-5pt}{\scriptsize 〇}]{〇}  x=1,  2
\end{align*}
$$

　以上より、２つの命題はともに真であるので、$${p}$$ は $${q}$$ であるための必要十分条件である。

(4)　「$${x>1 \rightarrow xy>1}$$」について
　仮定 $${x>1}$$ を満たす $${x}$$ として、例えば $${x=5}$$ を考える。
　このとき、$${y=-1}$$ とすると $${xy=5\cdot(-1)=-5}$$ となり、結論 $${xy>1}$$ は成り立たない（$${-5<1}$$ なので）。
　よって、反例として $${x=5,  y=-1}$$ が存在するので、この命題は偽である。
　「$${x>1 \leftarrow xy>1}$$」について
　仮定 $${xy>1}$$ を満たす $${x, y}$$ として、例えば $${x=-3,  y=-2}$$ を考える。
　このとき、結論 $${x>1}$$ は成り立たない（$${-3<1}$$ なので）。
　よって、反例として $${x=-3,  y=-2}$$ が存在するので、この命題も偽である。

$$
\begin{align*}
&{\scriptsize \hspace{-18pt}反例   x\!=\!5,  y\!=\!-1}\\[-2pt]
x>1  &\xrightleftarrows[\normalsize \times]{\normalsize \times}  xy>1\\[-2pt]
&{\scriptsize \hspace{-18pt}反例   x\!\!=\!\!-3,  y\!\!=\!\!-2}
\end{align*}
$$

　以上より、２つの命題はともに偽であるので、$${p}$$ は $${q}$$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

$${\blacksquare}$$

必要十分条件

　「$${p}$$ ならば $${q}$$」と「$${q}$$ ならば $${p}$$」の両方の命題を、両向きの「ならば」を意味する記号 $${\rightleftarrows}$$ や $${\leftrightarrow}$$ や $${\Leftrightarrow}$$ を用いて

$$
\begin{align*}
p \rightleftarrows q
\end{align*}
$$

または

$$
\begin{align*}
p \leftrightarrow q
\end{align*}
$$

または

$$
\begin{align*}
p \Leftrightarrow q
\end{align*}
$$

と表す。
「$${p}$$ ならば $${q}$$」と「$${q}$$ ならば $${p}$$」がともに真であるとき、すなわち $${p \leftrightarrow q}$$ が成り立つとき、
　$${p}$$ は $${q}$$ であるための必要十分条件
という。この場合、
　$${q}$$ は $${p}$$ であるための必要十分条件
でもある。

$$
\begin{align*}
\underset{必要十分 \atop 条件}{p}\hspace{-7pt}\leftrightarrow\hspace{-7pt}\underset{必要十分 \atop 条件}{q}
\end{align*}
$$

　またこのとき、
　$${p}$$ と $${q}$$ は同値である
という。

＊＊＊

　例えば、「$${x=0}$$ ならば $${x^2=0}$$」という命題を考えます。

$$
\begin{align*}
x=0 \rightarrow x^2=0
\end{align*}
$$

　この命題は真です。$${x=0}$$ を $${x^2=0}$$ に代入すると成り立ちます。
　次に、この命題の仮定を結論を入れ換えた「$${x^2=0}$$ ならば $${x=0}$$」という命題を考えます。

$$
\begin{align*}
x^2=0 \rightarrow x=0
\end{align*}
$$

　すると、この命題も真です。$${x^2=0}$$ を満たす $${x}$$ は、$${x=0}$$ のみだからです。よって、
　$${x=0}$$ は $${x^2=0}$$ であるための必要十分条件
であり、
　$${x^2=0}$$ は $${x=0}$$ であるための必要十分条件
です。

$$
\begin{align*}
\underset{必要十分 \atop 条件}{x=0} \leftrightarrow \underset{必要十分 \atop 条件}{x^2=0}
\end{align*}
$$

　つまり、
　$${x^2=0}$$ と $${x=0}$$ は同値
となります。

逆・裏・対偶

　$${p \rightarrow q}$$  という命題について、仮定 $${p}$$ と結論 $${q}$$ を入れ換えた命題

$$
\begin{align*}
q \rightarrow p
\end{align*}
$$

を逆という。
　また、仮定 $${p}$$ と結論 $${q}$$ の両方を否定にした「$${p}$$ でないならば $${q}$$ でない」という命題

$$
\begin{align*}
\overline{p} \rightarrow \overline{q}
\end{align*}
$$

を裏という。条件 $${p}$$ に対して、「$${p}$$ でない」という条件を $${p}$$ の否定といい、条件の記号の上に横棒をつけた $${\overline{p}}$$ という記号で表す。

　さらに、この裏を逆にした

$$
\begin{align*}
\overline{p} \rightarrow \overline{q}
\end{align*}
$$

を対偶という。

＊＊＊

　以上のことを、まとめておきます。

＜逆・裏・対偶＞
　命題 $${p \rightarrow q}$$ について、
　逆は「$${q \rightarrow p}$$」
　裏は「$${\overline{p} \rightarrow \overline{q}}$$」
　対偶は「$${\overline{p} \rightarrow \overline{q}}$$」

＊＊＊

　逆と裏は互いに対偶の関係にあり、逆の対偶は裏、裏の対偶は逆です。また、対偶の対偶はもとの命題になります。
　以上を図式化すると次のようになります。

　例えば、先に述べた「$${x=1}$$ ならば $${x^2=1}$$」という命題について
　　逆は「$${x^2=1}$$ ならば $${x=1}$$」
　　裏は「$${x\ne1}$$ ならば $${x^2\ne1}$$」
　対偶は「$${x^2=1}$$ ならば $${x=1}$$」
となります。

　ここで、次のような重要な定理があります。

「命題とその対偶の真偽は一致する。」

　「$${x=1}$$ ならば $${x^2=1}$$」という命題について、この命題は真です。この命題の逆、裏、対偶の真偽は次のようになります。

　命題「$${x=1}$$ ならば $${x^2=1}$$」は真
　　逆「$${x^2=1}$$ ならば $${x=1}$$」は偽
　　裏「$${x\ne1}$$ ならば $${x^2\ne1}$$」は偽
　対偶「$${x^2\ne1}$$ ならば $${x\ne1}$$」は真

　すると、元の命題と対偶はどちらも真であり、同じく対偶の関係にある逆と裏はどちらも偽であり、「もとの命題とその対偶の真偽は一致する」ことが分かります。

対偶による証明

　ある命題を証明するとき、その命題を直接証明するよりも、その対偶を証明するほうが簡単な場合があります。そのようなときは、対偶を証明します。

例題

　ある整数 $${n}$$ について、次の命題を証明しなさい。
　「$${n^2}$$ が偶数であるとき、$${n}$$ は偶数である。」
証明
　この命題の対偶をとると
　「$${n}$$ は偶数でないとき、$${n^2}$$ は偶数ではない。」
　偶数ではない数は奇数なので、さらに次のように表せる。
　「$${n}$$ は奇数のとき、$${n^2}$$ は奇数である。」

　まず、$${n}$$ は奇数なので、$${k}$$ を整数 ($${\cdots, -2, -1,  0,  1,  2, \cdots}$$) として

$$
n=2k+1　\cdots(*)
$$

とおける。ここで展開公式
　$${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$
を用いると

$$
\begin{align*}
n^2&=(2k+1)^2\\
&=(2k)^2+2\cdot2k\cdot1+1^2\\
&=4k^2+4k+1\\
&=2(2k^2+2k)+1\\
&=2l+1 （ただし  l=2k^2+2k  とおいた）
\end{align*}
$$

　すると、$${k}$$ は整数なので、$${l(=2k^2+2k)}$$ も整数となり $${2l+1}$$ は奇数。よって、$${n^2}$$ は奇数となる。

$${\blacksquare}$$

$${(*)}$$　例えば、奇数 $${-5, -3, -1,  1,  3,  5,  \cdots}$$  は
　$${-5=2\times(-3)+1}$$
　$${-3=2\times(-2)+1}$$
　$${-1=2\times(-1)+1}$$
　    $${1=2\times0+1}$$
　    $${3=2\times1+1}$$
　    $${5=2\times2+1}$$
$${\hspace{30pt}\vdots}$$
より、$${2k+1}$$（$${k}$$ は整数）の形で書けます。

　なお、確認として、$${2}$$ で割り切れる整数を偶数といいます。また、$${2}$$ で割り切れない整数を奇数といいます。よって、偶数ではない数は奇数です。
　一般に、偶数と奇数は負の場合も含まれます。例えば $${-4}$$ は偶数、$${-3}$$ は奇数です。また $${0}$$ は $${2}$$ で割り切れるので偶数です。

命題と論理の歴史

　古代ギリシャの哲学者アリストテレスは、「三段論法」という形で、世界で初めて本格的に論理学をまとめました。
　たとえば「すべての人間は死ぬ」「ソクラテスは人間である」という二つの前提から、「だからソクラテスは死ぬ」という結論を引き出す推論のしかたを分析し、前提と結論の結びつきをはっきりさせたのです。

　その後、長いあいだ論理学は三段論法を中心に発展してきましたが、十九世紀になると、数学の発展のスピードに追いつかなくなっていきました。

　そこで、ドイツの数学者であり論理学者でもあったゴットロープ・フレーゲが、「記号論理学」という新しい学問を作り上げました。
　これは、日常の言葉で書かれた「〜なら〜である」「〜かつ〜である」「〜または〜である」といった条件の言い回しにくわえて、「すべての（任意の）〜について成り立つ」「〜であるものが少なくとも１つは存在する」といった言い回しを、特別な記号と式を使って厳密に表し、その正しさを機械的な手続きで調べようとする学問です。

　この記号論理のおかげで、「必要条件」「十分条件」「対偶」といった条件どうしの関係を、はっきりと形式的に扱えるようになりました。

　二十世紀のはじめには、イギリスの数学者であり論理学者であり哲学者でもあったバートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、『プリンキピア・マテマティカ』という大著によって、「すべての数学を論理から組み立てる」ことを目指しました。

　この本では、フレーゲの記号論理をさらに発展させて、数の定義や集合の扱い、数学の証明の仕組みなどを、論理の観点から徹底的に分析しました。
　こうした試みは、「数学を定義や、ごく基本的な前提である公理から演繹し、論理のルールによって厳密に組み立てていく」という、二十世紀以降広く受け入れられている数学の考え方に、大きな影響を与えたのです。
　高校で学ぶ「命題」「必要十分条件」「対偶」などは、こうした長い歴史の流れを、高校レベルに合わせて整理し直したものだと言えます。

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理数系小説『シュレーディンガーの Φ』